Задание 1. На рисунке PC = CT, MC = CN, ∠M = ∠N. Докажите, что треугольники NTM и MPN равны.

Кратко

1. Задание 1: \(\triangle NTM = \triangle MPN\) — доказывается в два хода: сначала равны «маленькие» треугольники \(MCP\) и \(TCN\), потом «большие».
2. Задание 2: \(\angle D = \angle W\), потому что \(\triangle SMD = \triangle MSW\) по стороне и двум прилежащим углам.
3. Задание 3*: на фото видно только условие, сам ребус обрезан — пришлите нижнюю часть листа, и я его разберу.

Задание 1

Дано: \(P \in MK\), \(T \in KN\); отрезки \(MT\) и \(PN\) пересекаются в точке \(C\); \(PC = CT\), \(MC = CN\), \(\angle M = \angle N\). Доказать: \(\triangle NTM = \triangle MPN\).

Доказательство

1. \(\angle MCP = \angle TCN\) — вертикальные углы (прямые \(MT\) и \(PN\) пересекаются в точке \(C\)).
2. Значит, \(\triangle MCP = \triangle TCN\) по первому признаку: \(MC = CN\) (дано), \(CP = CT\) (дано), а углы между этими сторонами равны (п. 1). Отсюда следует равенство соответственных сторон: \[ MP = TN. \]
3. Точка \(P\) лежит на стороне \(MK\), поэтому луч \(MP\) совпадает с лучом \(MK\), и \[ \angle PMN = \angle KMN = \angle M. \] Аналогично \(T\) лежит на \(KN\), поэтому \(\angle TNM = \angle KNM = \angle N\). По условию \(\angle M = \angle N\), значит \[ \angle PMN = \angle TNM. \]
4. У треугольников \(MPN\) и \(NTM\): \(MP = TN\) (п. 2), \(MN\) — общая сторона, \(\angle PMN = \angle TNM\) (п. 3). Это первый признак равенства, поэтому \[ \triangle MPN = \triangle NTM. \]

Соответствие вершин: \(M \leftrightarrow N\), \(P \leftrightarrow T\), \(N \leftrightarrow M\). Ч.т.д.

Проверка (другой путь к тому же выводу). Из тех же данных \(TM = MC + CT\) и \(PN = PC + CN\), а так как \(MC = CN\) и \(CT = PC\), то \(TM = PN\). Кроме того, из \(\triangle MCP = \triangle TCN\) следует \(\angle TMN = \angle PNM\). Значит, равенство больших треугольников можно доказать и так: \(TM = PN\), \(MN\) — общая, \(\angle TMN = \angle PNM\).

Задание 2

Дано: \(\angle MSD = \angle SMW\), \(\angle SMD = \angle MSW\). Доказать: \(\angle D = \angle W\).

Доказательство

Рассмотрим треугольники \(SMD\) и \(MSW\).

1. Сторона \(SM\) у них общая.
2. \(\angle MSD = \angle SMW\) — по условию. В первом треугольнике это угол при вершине \(S\), во втором — при вершине \(M\).
3. \(\angle SMD = \angle MSW\) — по условию. В первом треугольнике это угол при вершине \(M\), во втором — при вершине \(S\).

В каждом из треугольников оба угла из пп. 2–3 прилежат к стороне \(SM\). Значит, треугольники равны по второму признаку (сторона и два прилежащих угла): \[ \triangle SMD = \triangle MSW. \]

При этом \(S \leftrightarrow M\), \(M \leftrightarrow S\), \(D \leftrightarrow W\). В равных треугольниках против равной стороны \(SM\) лежат равные углы, то есть \[ \angle D = \angle W. \]

Ч.т.д.

Как рассуждать в похожих задачах

• Выпишите, что уже есть в каждом треугольнике. Не хватает до «две стороны + угол между ними» — это первый признак; до «сторона + два прилежащих угла» — второй.
• Типовые «мостики»: общая сторона, вертикальные углы, сумма или разность равных отрезков (\(TM = MC + CT\)).
• В записи равенства порядок букв должен повторять соответствие вершин, иначе равенство углов «не туда» припишется.

Задание 3*

В кадре читается только условие: «Решите ребус, где разными буквами обозначены разные цифры, а одинаковыми буквами — одинаковые цифры», а сам ребус ниже обрезан. Без него решать нечего — пришлите, пожалуйста, фото нижней части страницы.