реши с дано номера 173 и 176

Оба утверждения доказываются через равенство треугольников: в № 173 — \(\triangle AOM\) и \(\triangle BOM\), в № 176 — \(\triangle KOE\) и \(\triangle POE\).

№ 173

Дано: \(\angle AOB\); \(OM\) — его биссектриса; прямая \(AB\) проходит через \(M\), точки \(A\) и \(B\) лежат на сторонах угла, \(AB\perp OM\).

Доказать: \(AM=MB\).

Доказательство:

1. Так как \(OM\) — биссектриса угла \(AOB\), то \[ \angle AOM=\angle BOM. \]

2. Так как \(AB\perp OM\), а \(M\) лежит на \(AB\), то \[ \angle AMO=\angle BMO=90^\circ. \]

3. Сторона \(OM\) — общая для треугольников \(AOM\) и \(BOM\).

4. Значит, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам: \[ \triangle AOM=\triangle BOM. \]

5. В равных треугольниках равны соответственные стороны, поэтому \[ AM=MB. \]

Идея: биссектриса угла является его осью симметрии, а перпендикуляр к ней даёт симметричные точки \(A\) и \(B\), поэтому \(M\) — середина \(AB\).

№ 176

Дано: \(\triangle MKO=\triangle MPO\); по рисунку 146 точки \(K,O,P\) лежат на одной прямой, а \(M,O,E\) — на одной прямой.

Доказать: \(\triangle KOE=\triangle POE\).

Доказательство:

1. Из равенства \(\triangle MKO=\triangle MPO\) следует: \[ KO=PO,\qquad \angle KOM=\angle POM. \]

2. Лучи \(OM\) и \(OE\) противоположны, поэтому углы \(\angle KOE\) и \(\angle KOM\) смежные: \[ \angle KOE=180^\circ-\angle KOM. \] Аналогично \[ \angle POE=180^\circ-\angle POM. \]

3. Так как \(\angle KOM=\angle POM\), то и \[ \angle KOE=\angle POE. \]

4. В треугольниках \(KOE\) и \(POE\):

   • \(KO=PO\);
   • \(OE\) — общая сторона;
   • углы между этими сторонами равны.

5. Следовательно, по двум сторонам и углу между ними \[ \triangle KOE=\triangle POE. \]

Проверка соответствия: \(K\leftrightarrow P\), \(O\leftrightarrow O\), \(E\leftrightarrow E\), поэтому дополнительно получится и \(KE=PE\).