Известно, что меньшая сторона прямоугольника ABCD равна 5, а диагонали пересекаются под углом 60°. Найдите сумму диагоналей прямоугольника AC + BD.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Задача 4. Лёгкая Диагональ прямоугольника
Известно, что меньшая сторона прямоугольника \(ABCD\) равна 5, а диагонали пересекаются под углом \(60^\circ\).
Найдите сумму диагоналей прямоугольника \(AC + BD\).
Краткий ответ: \(AC+BD=20\).
Решение:
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей, а длина каждой диагонали равна \(d\): \[ AC=BD=d. \] Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому \[ AO=BO=\frac d2. \]
Обозначим меньшую сторону \(AB=5\). В треугольнике \(AOB\) сторона \(AB\) лежит против острого угла между диагоналями, то есть \[ \angle AOB=60^\circ. \]
Треугольник \(AOB\) равнобедренный, так как \(AO=BO\). Угол между равными сторонами равен \(60^\circ\), значит, треугольник равносторонний: \[ AB=AO=BO=\frac d2. \]
Тогда \[ 5=\frac d2 \quad\Rightarrow\quad d=10. \] Следовательно, \[ AC+BD=d+d=10+10=20. \]
Проверка: стороны прямоугольника равны \(5\) и \(5\sqrt3\), его диагональ \[ \sqrt{5^2+(5\sqrt3)^2}=10, \] а угол между диагоналями действительно \(60^\circ\). Сумма диагоналей равна \(20\).
Обсуждение
3 сообщенияОтвет: \(20\).
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей, \(d\) — длина каждой диагонали. В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому
\[ OA=OB=OC=OD=\frac d2. \]
Возьмём меньшую сторону \(AB=5\). Угол между диагоналями, опирающийся на неё, равен \(60^\circ\). Значит, в треугольнике \(AOB\):
\[ OA=OB,\qquad \angle AOB=60^\circ. \]
Такой треугольник равносторонний, поэтому
\[ AB=OA=\frac d2. \]
Отсюда
\[ 5=\frac d2 \quad\Rightarrow\quad d=10. \]
Диагонали равны, значит
\[ AC+BD=10+10=20. \]
В поле ответа введите: \(20\).
