Решите неравенство \(\frac{x^2}{2x+9}<0\)

Краткий ответ:
\[ x\in(-\infty;-4{,}5). \]

Решение:

\[ \frac{x^2}{2x+9}<0 \]

1. Знаменатель не может быть равен нулю: \[ 2x+9\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne -4{,}5. \]

2. Числитель \(x^2\) всегда неотрицателен. Он равен нулю только при \(x=0\).
   Чтобы дробь была отрицательной, знаменатель должен быть отрицательным: \[ 2x+9<0. \]

3. Решаем: \[ 2x<-9 \quad\Rightarrow\quad x<-4{,}5. \]

4. Метод интервалов:

• при \(x<-4{,}5\): числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна;
• при \(-4{,}5<x<0\): числитель и знаменатель положительны, дробь положительна;
• при \(x>0\): дробь положительна;
• при \(x=0\) дробь равна \(0\), а неравенство строгое, поэтому \(0\) не подходит;
• при \(x=-4{,}5\) знаменатель равен \(0\), точка не входит.

Ответ: \[ (-\infty;-4{,}5). \]

Проверка: при \(x=-5\): \[ \frac{25}{-1}=-25<0, \] а при \(x=-4\): \[ \frac{16}{1}=16>0. \]