(2^(2√5) − 4^(√5−1)) · 2^(−2√5)

Краткий ответ: \(\dfrac{3}{4}\), или \(0{,}75\).

Ключевые шаги

На фото записано:

\[ \left(2^{2\sqrt5}-4^{\sqrt5-1}\right)\cdot 2^{-2\sqrt5} \]

1. Так как \(4=2^2\), то \[ 4^{\sqrt5-1}=(2^2)^{\sqrt5-1}=2^{2\sqrt5-2}. \]

2. Тогда в скобках: \[ 2^{2\sqrt5}-2^{2\sqrt5-2} =2^{2\sqrt5}\left(1-2^{-2}\right). \] Поскольку \(2^{-2}=\frac14\), \[ 1-2^{-2}=1-\frac14=\frac34. \]

3. Умножаем на \(2^{-2\sqrt5}\): \[ 2^{2\sqrt5}\cdot\frac34\cdot2^{-2\sqrt5} =\frac34\cdot 2^{2\sqrt5-2\sqrt5} =\frac34. \]

Проверка: можно обозначить \(\sqrt5=t\). Тогда выражение равно \[ (2^{2t}-4^{t-1})2^{-2t} =(4^t-4^{t-1})4^{-t} =\frac34. \] Ответ действительно не зависит от \(\sqrt5\).