3. а) √3 саны x²−4x−21=0 теңдемесинин тамыры болобу? б) 10−2√5 саны x²−20x+80=0 теңдемесинин тамыры болобу?

На фото два блока заданий, поэтому ниже решения всех видимых номеров. Сначала краткие ответы, затем ход решения.

Краткие ответы

• 3. а) нет; б) да.
• 4. Действительных корней нет.
• 5. а) \(b<\frac92\); б) \(b<\frac4{15}\); в) \(b<-6\) или \(b>6\); г) \(b<-2\sqrt5\) или \(b>2\sqrt5\).
• 1. а) \(3;5\); б) \(5;-\frac{19}{3}\); в) \(3;\frac14\); г) \(-2\); д) \(\pm\frac15\); е) \(0;\frac{11}{2}\); ж) \(\frac43\).
• 2. а) 4; б) 3; в) 7; г) 1.

Фото 1

3. а) \[ x^2-4x-21=(x-7)(x+3), \] поэтому корни уравнения: \(7\) и \(-3\). Число \(\sqrt3\) не равно ни одному из них, значит, не является корнем.

3. б) Подставим \(x=10-2\sqrt5\): \[ (10-2\sqrt5)^2-20(10-2\sqrt5)+80= \] \[ =120-40\sqrt5-200+40\sqrt5+80=0. \] Равенство верное, поэтому число является корнем.

4. Для любого действительного \(x\) чётные степени неотрицательны: \[ 8x^8\ge0,\quad 7x^6\ge0,\quad x^4\ge0,\quad 2x^2\ge0. \] Значит, \[ 8x^8+7x^6+x^4+2x^2+1\ge1>0. \] Левая часть никогда не равна нулю, поэтому уравнение не имеет действительных корней.

5. У квадратного уравнения два различных действительных корня, если дискриминант \(D>0\).

а) \[ D=6^2-4\cdot2\cdot b=36-8b>0, \] \[ b<\frac92. \]

б) \[ D=(-4)^2-4\cdot5\cdot3b=16-60b>0, \] \[ b<\frac4{15}. \]

в) \[ D=b^2-4\cdot3\cdot3=b^2-36>0, \] \[ b<-6 \quad \text{или}\quad b>6. \]

г) \[ D=b^2-4\cdot1\cdot5=b^2-20>0, \] \[ b<-2\sqrt5 \quad \text{или}\quad b>2\sqrt5. \]

При равенстве \(D=0\) получается один двукратный корень, поэтому граничные значения не включены.

Фото 2

1. а) \[ x^2-8x+15=0, \] \[ (x-3)(x-5)=0, \] \[ x=3 \quad \text{или}\quad x=5. \]

б) \[ \frac{(x+1)^2}{12}-\frac{1-x^2}{24}=4. \] Умножим на 24: \[ 2(x+1)^2-(1-x^2)=96, \] \[ 3x^2+4x-95=0. \] \[ D=16+4\cdot3\cdot95=1156=34^2. \] \[ x_{1,2}=\frac{-4\pm34}{6}. \] \[ x_1=5,\qquad x_2=-\frac{19}{3}. \]

в) \[ x^2-\frac{13}{4}x+0{,}75=0. \] Так как \(0{,}75=\frac34\), умножим на 4: \[ 4x^2-13x+3=0. \] \[ D=169-48=121=11^2. \] \[ x_{1,2}=\frac{13\pm11}{8}. \] \[ x_1=3,\qquad x_2=\frac14. \]

г) \[ (8x-1)(2x-3)-(4x-1)^2=38. \] Раскрываем скобки: \[ (16x^2-26x+3)-(16x^2-8x+1)=38, \] \[ -18x+2=38, \] \[ -18x=36, \] \[ x=-2. \]

д) \[ \frac13(15x-1)(1+15x)=\frac83. \] Так как \((15x-1)(15x+1)=225x^2-1\), получаем: \[ \frac{225x^2-1}{3}=\frac83, \] \[ 225x^2-1=8, \] \[ x^2=\frac1{25}, \] \[ x=\pm\frac15. \]

е) \[ (6-x)(x+6)-(x-11)x=36. \] \[ 36-x^2-(x^2-11x)=36, \] \[ -2x^2+11x=0, \] \[ x(11-2x)=0, \] \[ x=0 \quad \text{или}\quad x=\frac{11}{2}. \]

ж) \[ 9x^2-\frac{(12x-11)(3x+8)}{4}=1. \] Умножим на 4: \[ 36x^2-(12x-11)(3x+8)=4. \] \[ (12x-11)(3x+8)=36x^2+63x-88. \] Тогда: \[ 36x^2-(36x^2+63x-88)=4, \] \[ -63x+88=4, \] \[ x=\frac{84}{63}=\frac43. \]

2. Степень уравнения определяем после раскрытия скобок и приведения подобных.

а) старшая степень \(x^4\), значит, степень уравнения 4;

б) \[ (x^2+3)(x-4)=x^3-4x^2+3x-12, \] степень 3;

в) старшая степень \(x^7\), степень уравнения 7;

г) \[ 6x^3-6x(x^2+5)=9, \] \[ 6x^3-6x^3-30x=9, \] \[ -30x-9=0. \] После приведения осталась первая степень, значит, степень уравнения 1.

Проверка: например, для 1. а) \[ 3^2-8\cdot3+15=0,\qquad 5^2-8\cdot5+15=0. \] Остальные найденные корни также удовлетворяют исходным уравнениям.