реши эти задачи
Сверь числа и знаки с фото.
УПРАЖНЕНИЕ 21
- Определите скорость искусственного спутника Земли, если он движется по круговой орбите на высоте 2600 км над поверхностью Земли. (\(M_{з}=6\cdot10^{24}\ \text{кг}\).)
- Если бы на круговую орбиту вблизи поверхности Луны был выведен искусственный спутник, то он двигался бы со скоростью \(1{,}67\ \text{км/с}\). Определите радиус Луны, если известно, что ускорение свободного падения на её поверхности равно \(1{,}6\ \text{м/с}^2\).
- На каком расстоянии от Земли сила всемирного тяготения, действующая на тело, будет в 3 раза меньше, чем на поверхности Земли?
- Ракета, пущенная вертикально вверх, поднялась на высоту 3200 км над поверхностью Земли и начала падать. Какой путь пройдёт ракета за первую секунду своего падения?
Решаю задания 1–4 из упражнения 21. Беру табличные значения:
\(G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2\), \(R_{\text{З}}\approx6{,}4\cdot10^6\) м, \(g\approx9{,}8\ \text{м/с}^2\).
Краткие ответы
- \(v\approx6{,}7\ \text{км/с}\).
- \(R_{\text{Л}}\approx1{,}7\cdot10^3\ \text{км}\).
- От центра Земли \(r\approx1{,}1\cdot10^7\) м; над поверхностью Земли \(h\approx4{,}7\cdot10^3\) км.
- \(s\approx2{,}2\) м.
Решение и принцип
Во всех задачах используется закон всемирного тяготения: \[ F=G\frac{mM}{r^2}. \] Для спутника на круговой орбите эта сила играет роль центростремительной.
1.
\[
G\frac{M_{\text{З}}m}{r^2}=\frac{mv^2}{r}
\quad\Rightarrow\quad
v=\sqrt{\frac{GM_{\text{З}}}{r}}.
\]
Радиус орбиты:
\[
r=R_{\text{З}}+h=6{,}4\cdot10^6+2{,}6\cdot10^6=9{,}0\cdot10^6\ \text{м}.
\]
Тогда
\[
v=\sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}}{9{,}0\cdot10^6}}
\approx6{,}7\cdot10^3\ \text{м/с}
\approx6{,}7\ \text{км/с}.
\]
2.
Вблизи поверхности Луны:
\[
m\frac{v^2}{R_{\text{Л}}}=mg_{\text{Л}}
\quad\Rightarrow\quad
R_{\text{Л}}=\frac{v^2}{g_{\text{Л}}}.
\]
Переводим скорость в м/с: \(v=1{,}67\ \text{км/с}=1670\ \text{м/с}\).
\[
R_{\text{Л}}=\frac{1670^2}{1{,}6}
\approx1{,}74\cdot10^6\ \text{м}
\approx1{,}7\cdot10^3\ \text{км}.
\]
3.
Сила тяготения убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли:
\[
F(r)=G\frac{mM}{r^2}.
\]
Нужно:
\[
F(r)=\frac13 F(R_{\text{З}}).
\]
Значит,
\[
\frac{1}{r^2}=\frac{1}{3R_{\text{З}}^2},
\qquad
r=R_{\text{З}}\sqrt3.
\]
\[
r\approx6{,}4\cdot10^6\cdot1{,}73
\approx1{,}1\cdot10^7\ \text{м}.
\]
Если нужна высота над поверхностью:
\[
h=r-R_{\text{З}}\approx4{,}7\cdot10^6\ \text{м}
\approx4{,}7\cdot10^3\ \text{км}.
\]
4.
На высоте \(h=3200\ \text{км}=3{,}2\cdot10^6\) м ускорение свободного падения меньше:
\[
g_h=g\left(\frac{R_{\text{З}}}{R_{\text{З}}+h}\right)^2
=
9{,}8\left(\frac{6{,}4}{9{,}6}\right)^2
\approx4{,}36\ \text{м/с}^2.
\]
Ракета начинает падать из состояния покоя, поэтому
\[
s=\frac{g_h t^2}{2}
=
\frac{4{,}36\cdot1^2}{2}
\approx2{,}18\ \text{м}.
\]
Ответ: примерно \(2{,}2\) м.
Проверка. Скорость \(6{,}7\) км/с меньше первой космической скорости у поверхности Земли \(7{,}9\) км/с — это логично для большей высоты. Радиус Луны \(1740\) км близок к известному значению. На высоте \(3200\) км ускорение меньше земного примерно в \((9{,}6/6{,}4)^2=2{,}25\) раза, поэтому путь за первую секунду около \(2\) м.
