Укажите, в какой строке в обоих словах для обозначения мягкости согласного на месте пропуска пишется мягкий знак.

Ответ: первая строка (левый верхний вариант) — раньше, деньги.

Как рассуждать

Мягкий знак для обозначения мягкости согласного пишется:

• на конце слова (день, соль);
• после мягкого согласного перед твёрдым согласным: раньше — нь перед ш, деньги — нь перед г.

Не пишется:

• в буквосочетаниях чк, чн, нч, щн, рщ и подобных: ручка, печник, палочка;
• после ч и щ, которые всегда мягкие: лучше.

Проверяю каждый вариант по порядку:

1. раньше, деньги — в обоих словах ь обозначает мягкость н перед твёрдыми ш и г. Подходит.
2. лучше, письмо — в «письмо» ь есть (сь перед м), а в «лучше» не нужен: ч всегда мягкий. Значит, не оба.
3. ручка, просьба — в «ручка» сочетание чк пишется без ь, в «просьба» ь есть. Значит, не оба.
4. печник, палочка — чн и чк без ь, мягкого знака нет ни в одном слове.

Проверка: в выбранной строке в оба пропуска действительно вписывается ь — «раньше», «деньги», и в каждом случае он обозначает мягкость согласного.