Какова вероятность того, что последние две цифры номера случайно выбранного паспорта не одинаковы?

Ответ к заданию 5: \(1\) (то есть событие произойдёт наверняка).

Почему

Работаем с условием «в сумме выпало \(11\)». Возможных исходов всего два — это пары \((5;6)\) и \((6;5)\). Других способов получить \(11\) на двух костях нет.

\[ 5+6=11,\qquad 6+5=11. \]

Теперь смотрим, в каких из этих двух равновозможных исходов хотя бы на одной кости выпало \(5\). В обоих: в первом \(5\) на первой кости, во втором — на второй.

\[ P=\frac{2}{2}=1. \]

Проверка

Всего исходов при двух бросках \(36\). Сумма \(11\) — у \(2\) исходов, и оба содержат \(5\). Если считать через формулу условной вероятности:

\[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{2/36}{2/36}=1. \]

Здесь \(B\) — «сумма \(11\)», \(A\) — «хотя бы раз выпало \(5\)».

Главное понять: при сумме \(11\) вариант «без пятёрки» невозможен, поэтому вероятность равна единице. Частая ошибка — механически делить на \(6\) или на \(36\), не учитывая, что пространство исходов уже сузилось до двух пар.

Задание 6. Ответ: \(800\) рублей.

Решение

Математическое ожидание компенсации — это сумма произведений каждой выплаты на её вероятность:

\[ E=0\cdot 0{,}96+10\,000\cdot 0{,}03+50\,000\cdot 0{,}01. \]

Считаем по частям:

\[ 0\cdot 0{,}96=0, \] \[ 10\,000\cdot 0{,}03=300, \] \[ 50\,000\cdot 0{,}01=500. \]

Складываем:

\[ E=0+300+500=800. \]

Проверка: вероятности в сумме дают \(0{,}96+0{,}03+0{,}01=1\), значит, таблица задаёт полный набор исходов. При страховке «Стандарт» в среднем на один груз приходится компенсация \(800\) рублей.

По фото задание 6 — то же, что мы уже разобрали. Условие совпадает: компенсации \(0\), \(10\,000\), \(50\,000\) рублей с вероятностями \(0{,}96\), \(0{,}03\), \(0{,}01\). Значит, ответ прежний:

\[ E=0\cdot0{,}96+10\,000\cdot0{,}03+50\,000\cdot0{,}01=0+300+500=800 \]

Ответ: \(800\) рублей — средняя компенсация на один случайный груз.

Если идёшь по порядку, вот следующие два задания из этого варианта.

7. \(2^{3+x}=0{,}4\cdot 5^{3+x}\). Делим обе части на \(5^{3+x}\):

\[ \left(\frac{2}{5}\right)^{3+x}=0{,}4=\frac{2}{5}\;\Rightarrow\;3+x=1\;\Rightarrow\;x=-2. \]

Ответ: \(-2\). Проверка: \(2^{1}=2\), \(0{,}4\cdot5^{1}=2\).

8. \(\log_{0{,}28}25-\log_{0{,}28}7=\log_{0{,}28}\frac{25}{7}\). Заметим, что \(0{,}28=\frac{7}{25}\), значит \(\frac{25}{7}=0{,}28^{-1}\):

\[ \log_{0{,}28}\left(0{,}28^{-1}\right)=-1. \]

Ответ: \(-1\).

Задание 7. Ответ: \(x=-2\).

Ниже — полное решение (в прошлом сообщении ответ был, но коротко).

Уравнение: \[ 2^{3+x}=0{,}4\cdot 5^{3+x}. \]

Шаг 1. Разделим обе части на \(5^{3+x}\). Это законно: степень положительна и никогда не равна нулю.

\[ \frac{2^{3+x}}{5^{3+x}}=0{,}4. \]

Шаг 2. Слева применяем свойство степеней \(\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n\), а справа переводим десятичную дробь: \(0{,}4=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\).

\[ \left(\frac{2}{5}\right)^{3+x}=\frac{2}{5}. \]

Шаг 3. Справа тоже записываем как степень с тем же основанием:

\[ \left(\frac{2}{5}\right)^{3+x}=\left(\frac{2}{5}\right)^{1}. \]

Основание \(\frac{2}{5}\neq 1\), поэтому показательная функция строго монотонна и равные степени с одинаковым основанием имеют равные показатели:

\[ 3+x=1 \;\Rightarrow\; x=-2. \]

Проверка. При \(x=-2\): слева \(2^{3-2}=2^{1}=2\), справа \(0{,}4\cdot5^{3-2}=0{,}4\cdot5=2\). Стороны равны, корень верный.

Принцип на похожие задания. Если уравнение имеет вид \(a^{f(x)}=c\cdot b^{f(x)}\), делят на \(b^{f(x)}\) и получают \(\left(\frac{a}{b}\right)^{f(x)}=c\). Дальше \(c\) стараются представить степенью того же основания \(\frac{a}{b}\) — и приравнивают показатели.

Задание 8. Ответ: \(-1\).

Выражение: \[ \log_{0{,}28}25-\log_{0{,}28}7. \]

Шаг 1. Основания логарифмов одинаковые, поэтому применяем свойство разности логарифмов: \[ \log_a b-\log_a c=\log_a\frac{b}{c}. \]

Получаем: \[ \log_{0{,}28}25-\log_{0{,}28}7=\log_{0{,}28}\frac{25}{7}. \]

Шаг 2. Свяжем число \(\frac{25}{7}\) с основанием \(0{,}28\). Запишем основание обыкновенной дробью: \[ 0{,}28=\frac{28}{100}=\frac{7}{25}. \]

Значит, \(\frac{25}{7}\) — это перевёрнутая дробь, то есть \[ \frac{25}{7}=\left(\frac{7}{25}\right)^{-1}=0{,}28^{-1}. \]

Шаг 3. Подставляем в логарифм и пользуемся тем, что \(\log_a a^{-1}=-1\): \[ \log_{0{,}28}\left(0{,}28^{-1}\right)=-1. \]

Проверка: \(0{,}28^{-1}=\frac{25}{7}\approx3{,}571\), и \(\log_{0{,}28}3{,}571=-1\), так как \(0{,}28^{-1}=3{,}571\). Всё верно.

Принцип для похожих заданий. Если в основании логарифма стоит десятичная дробь, переведи её в обыкновенную и посмотри, не является ли число под логарифмом этой же дробью в какой-то степени (часто в \(-1\)). Тогда ответ читается сразу: \(\log_a a^k=k\).