Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Ответ: верные высказывания — 1 и 3

Проверю каждое:

1. Если в выпуклом четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то это параллелограмм — ✅ признак. Пусть \(AB \parallel CD\) и \(AB = CD\). Проведём диагональ \(AC\). Треугольники \(ABC\) и \(CDA\) равны по двум сторонам и углу между ними: \(AB = CD\), \(AC\) — общая, \(\angle BAC = \angle ACD\) (накрест лежащие при \(AB \parallel CD\)). Значит, \(\angle BCA = \angle CAD\), а это накрест лежащие углы при прямых \(BC\) и \(AD\) — следовательно, \(BC \parallel AD\). Четырёхугольник с двумя парами параллельных сторон и есть параллелограмм.

2. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам — ❌ это свойство. Здесь уже предполагается, что фигура — параллелограмм, поэтому высказывание описывает его свойство. Признаком была бы формулировка: «Если диагонали четырёхугольника пересекаются и делятся пополам, то он — параллелограмм».

3. Выпуклый четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно равны, — параллелограмм — ✅ признак. Диагональ \(AC\) разбивает его на два треугольника, равных по трём сторонам (\(AB = CD\), \(BC = AD\), \(AC\) — общая). Значит, \(\angle BAC = \angle ACD\) и \(\angle BCA = \angle CAD\) — накрест лежащие углы равны, поэтому \(AB \parallel CD\) и \(BC \parallel AD\).

4. Углы параллелограмма, прилежащие к любой стороне, в сумме дают \(180^\circ\) — ❌ это свойство. Оно выводится из параллельности сторон (\(\angle A + \angle B = 180^\circ\) как односторонние при \(AD \parallel BC\)). Но сформулировано оно опять же «про параллелограмм», а не как условие, из которого параллелограмм получается.

Как различать: признак — это «если у четырёхугольника выполнено …, то он параллелограмм» (достаточное условие). Свойство — это «если фигура параллелограмм, то у неё …». В задании спрашивают именно признаки, поэтому отмечаем 1 и 3.

Ответ: \(62\) см

Ключевой шаг. По условию \(BC \parallel AD\) и \(BC = AD\). Это признак параллелограмма, который мы разбирали в прошлой задаче: четырёхугольник с парой равных и параллельных противоположных сторон — параллелограмм. Значит, \(ABCD\) — параллелограмм, и вторая пара противоположных сторон тоже равна: \(AB = CD\).

Решение. Периметр треугольника \(ABC\): \[ AB + BC + AC = 38. \] Так как \(AC = 7\), получаем \[ AB + BC = 38 - 7 = 31 \text{ см}. \]

Периметр четырёхугольника: \[ P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD. \] Но \(CD = AB\) и \(AD = BC\), поэтому \[ P_{ABCD} = 2(AB + BC) = 2 \cdot 31 = 62 \text{ см}. \]

Проверка: периметр четырёхугольника вдвое больше суммы двух соседних сторон, а эта сумма на диагональ меньше периметра треугольника: \(2 \cdot (38 - 7) = 62\). Сходится.

В поле ответа введи 62.

Ответ: \(CE = 5{,}2\) см

Главная идея. Диагонали четырёхугольника, которые делятся точкой пересечения пополам, — признак параллелограмма (та самая формулировка, которой не было в первом задании). Здесь как раз такой случай.

Решение.

1. \(BD\) — медиана, значит, \(D\) — середина стороны \(AC\), то есть \(AD = DC\).
2. По условию \(DE = DB\), причём \(B\), \(D\), \(E\) лежат на одной прямой. Значит, \(D\) — середина и отрезка \(BE\).
3. Рассмотрим четырёхугольник \(ABCE\). Его диагонали — это \(AC\) и \(BE\), и они обе проходят через точку \(D\), делясь ею пополам: \[ AD = DC, \qquad BD = DE. \] По признаку \(ABCE\) — параллелограмм.
4. У параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому \[ CE = AB = 5{,}2 \text{ см}. \]

Проверка. В параллелограмме \(ABCE\) должно быть и \(AE = BC = 7{,}4\) см. Числа \(BC = 7{,}4\) и \(AC = 9\) в задаче даны как лишние данные — их наличие и делает задачу «сложной»: важно не считать медиану, а заметить признак параллелограмма.

В поле ответа введи 5,2.