Реши уравнение x² − 5x + 6
Краткий ответ
Уравнение \(x^{2}-5x+6=0\) (понимаю запись как равенство нулю — иначе это не уравнение, а выражение):
\[ x_{1}=2,\qquad x_{2}=3 \]
Если же требовалось разложить выражение на множители, то
\[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Ключевые шаги
1. Теорема Виета (самый быстрый путь). Для приведённого квадратного уравнения \(x^{2}+px+q=0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\). У нас \(p=-5\), \(q=6\), значит:
\[ x_{1}+x_{2}=5,\qquad x_{1}\cdot x_{2}=6 \]
Нужны два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3.
2. Через дискриминант (универсальный способ).
\[ D=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \]
\[ x_{1}=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_{2}=\frac{5+1}{2}=3 \]
Проверка
Подставляю корни в исходное выражение:
\[ 2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \]
\[ 3^{2}-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \]
Оба корня обращают выражение в ноль — ответ верный.
Принцип на будущее: у приведённого уравнения корни удобно искать подбором по Виету, а дискриминант выручает, когда подбор не идёт (дробные или иррациональные корни). Если \(D<0\) — корней нет, если \(D=0\) — корень один.
На фото — не учебное задание, поэтому опирался на текст условия.
Обсуждение
2 сообщенияА что делать, если дискриминант отрицательный?
Краткий ответ
Если \(D<0\), то в действительных числах корней нет — уравнение не имеет решения. Парабола \(y=ax^{2}+bx+c\) при этом не пересекает ось \(Ox\) (лежит целиком выше неё при \(a>0\) или целиком ниже при \(a<0\)).
Как это выглядит на практике
Пример. \(x^{2}+x+1=0\)
\[ D=1^{2}-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3<0 \]
Корень из отрицательного числа в действительных числах не извлекается, значит записывать \(x_{1,2}\) не нужно: решений нет (пишут «корней нет» или \(x\in\varnothing\)).
Проверка смысла: \(x^{2}+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}\), а квадрат всегда \(\ge 0\), поэтому вся сумма не меньше \(\frac{3}{4}\) — нулю она равняться не может.
Что ещё полезно знать про случай \(D<0\)
- Знак выражения постоянен. Квадратный трёхчлен при \(D<0\) принимает только значения одного знака — совпадающего со знаком \(a\). Поэтому неравенство вроде \(x^{2}+x+1>0\) верно при всех \(x\), а \(x^{2}+x+1<0\) — ни при каких.
- На множители над действительными числами не разложить. Такой трёхчлен называют неприводимым: представить его как \((x-x_{1})(x-x_{2})\) с действительными \(x_{1},x_{2}\) нельзя.
- График. Парабола с ветвями вверх и \(D<0\) целиком над осью \(Ox\); с ветвями вниз — целиком под ней.
- Если уже проходили комплексные числа (обычно 10–11 класс), корни всё же есть, но комплексные. Для \(x^{2}+x+1=0\):
\[ x_{1,2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2} \]
Здесь \(\sqrt{D}=\sqrt{-3}=i\sqrt{3}\). В 8 классе этот вариант не требуется — достаточно ответа «корней нет».
Правило-шпаргалка: \(D>0\) — два разных корня; \(D=0\) — один корень \(x=-\frac{b}{2a}\); \(D<0\) — в действительных числах корней нет.
Хочешь, дам два-три уравнения для тренировки — с положительным, нулевым и отрицательным дискриминантом?
