Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ: \(x=2\) и \(x=3\).

Как это получить:

1. Левую часть \(x^2-5x+6\) можно разложить на множители. Нужны два числа, которые в сумме дают \(5\), а при умножении — \(6\). Это \(2\) и \(3\).
2. Поэтому: \[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \] Проверим раскрытием скобок: \[ (x-2)(x-3)=x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6. \]
3. Уравнение принимает вид: \[ (x-2)(x-3)=0. \] Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \[ x-2=0 \quad\text{или}\quad x-3=0. \]
4. Отсюда: \[ x=2 \quad\text{или}\quad x=3. \]

Проверка: \[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0, \] \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \] Я проверил оба корня — они подходят.

Принцип: Если уравнение удаётся разложить на множители, то каждый множитель можно приравнять к нулю. Этот приём работает и для похожих уравнений, например \(x^2-7x+12=0\): числа \(3\) и \(4\) дают сумму \(7\) и произведение \(12\), поэтому корни \(3\) и \(4\). В старших классах для любых квадратных уравнений есть общая формула через дискриминант, но при лёгком подборе разложение быстрее.