518. Решите уравнение:

Краткий ответ:

а) \(x=0\) или \(x=-\dfrac{3}{2}\);

б) \(x=\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\pm\dfrac{\sqrt{6}}{3}\);

в) \(u=0\) или \(u=\dfrac{4}{5}\);

г) \(a=0\) или \(a=\dfrac{1}{2}\);

д) \(y=\pm\dfrac{1}{2}\);

е) \(x=\pm\sqrt{3}\).

Как рассуждать

Это неполные квадратные уравнения.

1. Если есть \(x^2\) и \(x\), но нет свободного члена, выносим общий множитель:

\[ ax^2+bx=x(ax+b)=0. \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. Поэтому один корень всегда \(0\).

• а) \(2x^2+3x=x(2x+3)=0\), значит \(x=0\) или \(x=-\frac32\).
• в) \(5u^2-4u=u(5u-4)=0\), значит \(u=0\) или \(u=\frac45\).
• г) \(7a-14a^2=7a(1-2a)=0\), значит \(a=0\) или \(a=\frac12\).

Важно: здесь нельзя делить уравнение на \(x\), \(u\) или \(a\), иначе потеряется корень \(0\).

2. Если есть \(x^2\) и число, но нет \(x\), выражаем квадрат:

\[ x^2=\text{число}. \]

Если число положительное, получаются два противоположных корня.

• б) \(3x^2-2=0\), поэтому \(x^2=\frac23\), \(x=\pm\sqrt{\frac23}\).
• д) \(1-4y^2=0\), поэтому \(4y^2=1\), \(y^2=\frac14\), \(y=\pm\frac12\).
• е) \(2x^2-6=0\), поэтому \(x^2=3\), \(x=\pm\sqrt3\).

Проверка: например, в а) при \(x=-\frac32\):

\[ 2\cdot\frac94+3\cdot\left(-\frac32\right)=\frac92-\frac92=0. \]

Значит корень найден верно.