519. Верно ли утверждение: а) неполное квадратное уравнение x² − 19 = 0 не имеет корней; б) неполное квадратное уравнение x² + 19 = 0 не имеет корней;

Ответ: а) неверно; б) верно; в) неверно.

Почему это так

Неполное квадратное уравнение — это уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a \ne 0\), но хотя бы один из коэффициентов \(b\) или \(c\) равен нулю. Слово «неполное» описывает вид уравнения, а не отсутствие корней.

а) \[x^2 - 19 = 0 \quad\Rightarrow\quad x^2 = 19.\] Отсюда \(x = \sqrt{19}\) или \(x = -\sqrt{19}\). Корни есть (их два), значит, утверждение «не имеет корней» неверно.

б) \[x^2 + 19 = 0 \quad\Rightarrow\quad x^2 = -19.\] Для любого действительного \(x\) выполняется \(x^2 \ge 0\), а \(-19 < 0\). Поэтому действительных корней нет — утверждение верно.

в) \[x^2 + 19x = 0 \quad\Rightarrow\quad x(x + 19) = 0.\] Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \(x = 0\) или \(x = -19\). Корни есть, утверждение неверно.

Общий принцип

• Уравнение \(x^2 = d\): при \(d > 0\) два корня \(\pm\sqrt{d}\); при \(d = 0\) один корень \(0\); при \(d < 0\) корней нет.
• Уравнение \(x^2 + bx = 0\): \(x(x + b) = 0\), поэтому корень \(0\) есть всегда, а второй корень равен \(-b\) (если \(b \ne 0\)).
• Уравнение \(ax^2 = 0\): единственный корень \(0\).

То есть, чтобы ответить на вопрос «есть ли корни», неполное уравнение нужно привести к простейшему виду и посмотреть на знак числа в правой части.

Проверка подстановкой: \((\sqrt{19})^2 - 19 = 19 - 19 = 0\); \(0^2 + 19\cdot 0 = 0\); \((-19)^2 + 19\cdot(-19) = 361 - 361 = 0\). В пункте б) \(x^2 = -19\) невозможно, так как квадрат неотрицателен.