442. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
Реши 442
Сверь числа и знаки с фото.
- Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) \(\frac{4-\sqrt{11}}{4+\sqrt{11}}\); б) \(\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\); в) \(\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}\).
Краткий ответ:
\[ \text{а) } \frac{27-8\sqrt{11}}{5},\qquad \text{б) } 4+\sqrt{15},\qquad \text{в) } 9-4\sqrt{5}. \]
Главный принцип. Чтобы убрать корень из знаменателя, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение. Используем формулу
\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2. \]
Поэтому, например, для \(4+\sqrt{11}\) сопряжённым будет \(4-\sqrt{11}\).
а)
\[ \frac{4-\sqrt{11}}{4+\sqrt{11}} = \frac{(4-\sqrt{11})^2}{(4+\sqrt{11})(4-\sqrt{11})} = \frac{16-8\sqrt{11}+11}{16-11} = \frac{27-8\sqrt{11}}{5}. \]
б)
\[ \frac{\sqrt5+\sqrt3}{\sqrt5-\sqrt3} = \frac{(\sqrt5+\sqrt3)^2}{(\sqrt5-\sqrt3)(\sqrt5+\sqrt3)} = \frac{5+2\sqrt{15}+3}{5-3} = \frac{8+2\sqrt{15}}{2} = 4+\sqrt{15}. \]
в)
\[ \frac{\sqrt5-2}{\sqrt5+2} = \frac{(\sqrt5-2)^2}{(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)} = \frac{5-4\sqrt5+4}{5-4} = 9-4\sqrt5. \]
Проверка. Например, для пункта б):
\[ (4+\sqrt{15})(\sqrt5-\sqrt3)=\sqrt5+\sqrt3, \]
значит дробь действительно равна \(4+\sqrt{15}\). В остальных пунктах проверка аналогична.
Обсуждение
2 сообщенияРеши 442
В номере 442 внешние корни стоят над числителем и знаменателем отдельно, поэтому прежний ответ был для другого задания. Вот верное решение.
Ответ:
\[ \text{а) } \frac{4\sqrt5-\sqrt{55}}{5},\qquad \text{б) } \frac{\sqrt{10}+\sqrt6}{2},\qquad \text{в) } \sqrt5-2. \]
а)
\[ \frac{\sqrt{4-\sqrt{11}}}{\sqrt{4+\sqrt{11}}} = \frac{\sqrt{(4-\sqrt{11})(4+\sqrt{11})}}{4+\sqrt{11}} = \frac{\sqrt{16-11}}{4+\sqrt{11}} = \frac{\sqrt5}{4+\sqrt{11}}. \]
Теперь избавляемся от корня в знаменателе:
\[ \frac{\sqrt5}{4+\sqrt{11}} = \frac{\sqrt5(4-\sqrt{11})}{(4+\sqrt{11})(4-\sqrt{11})} = \frac{4\sqrt5-\sqrt{55}}{16-11} = \frac{4\sqrt5-\sqrt{55}}{5}. \]
б)
\[ \frac{\sqrt{\sqrt5+\sqrt3}}{\sqrt{\sqrt5-\sqrt3}} = \frac{\sqrt5+\sqrt3}{\sqrt{(\sqrt5-\sqrt3)(\sqrt5+\sqrt3)}} = \frac{\sqrt5+\sqrt3}{\sqrt2}. \]
Домножим числитель и знаменатель на \(\sqrt2\):
\[ \frac{\sqrt5+\sqrt3}{\sqrt2} = \frac{\sqrt{10}+\sqrt6}{2}. \]
в)
\[ \frac{\sqrt{\sqrt5-2}}{\sqrt{\sqrt5+2}} = \frac{\sqrt5-2}{\sqrt{(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)}} = \frac{\sqrt5-2}{\sqrt{5-4}} = \sqrt5-2. \]
Проверка для в): численно обе части примерно равны \(0{,}236\), значит ответ верный.
