Решить 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 упражнения полностью используя эти три метода

Question

Расшифровка фото нейросетью:
В задачах 1.91-1.100 решить системы уравнений:
а) по формулам Крамера; б) методом обратной матрицы; в) методом Гаусса.

1.94
$$\begin{cases}2x_1+x_2+x_3=3\x_1+2x_2+x_3=0\x_1+x_2+2x_3=9\end{cases}$$

1.95
$$\begin{cases}2x_1-x_2-x_3=4\3x_1+4x_2-2x_3=11\3x_1-2x_2+4x_3=11\end{cases}$$

1.96
$$\begin{cases}x_1+x_2+2x_3=-1\2x_1-x_2+2x_3=-4\4x_1+x_2+4x_3=-2\end{cases}$$

1.97
$$\begin{cases}3x_1+2x_2+x_3=5\2x_1+3x_2+x_3=1\2x_1+x_2+3x_3=11\end{cases}$$

1.98
$$\begin{cases}2x_1+3x_2+5x_3=10\3x_1+7x_2+4x_3=3\x_1+2x_2+2x_3=3\end{cases}$$]

Answer

Кратко: системы имеют единственные решения:

№ |
$x_1$ |
$x_2$ |
$x_3$ |
$\Delta$ |

1.94 |
0 |
$-3$ |
6 |
4 |

1.95 |
3 |
1 |
1 |
60 |

1.96 |
1 |
2 |
$-2$ |
6 |

1.97 |
2 |
$-2$ |
3 |
12 |

1.98 |
3 |
$-2$ |
2 |
1 |

Все определители не равны нулю, поэтому применимы все три метода.

Как устроены методы.

1. Метод Крамера: $x_i=\frac{\Delta_i}{\Delta}$, где $\Delta_i$ получается заменой $i$-го столбца на столбец свободных членов.

2. Метод обратной матрицы: $A^{-1}=\frac{1}{\Delta}C^T$, затем $x=A^{-1}b$.

3. Метод Гаусса: приводим расширенную матрицу $(A|b)$ к ступенчатому виду и идём снизу вверх.

1.94

$$
A=\begin{pmatrix}2&1&1\1&2&1\1&1&2\end{pmatrix},
\quad b=\begin{pmatrix}3\0\9\end{pmatrix}
$$

Крамер:

$$
\Delta=4,\quad \Delta_1=0,\quad \Delta_2=-12,\quad \Delta_3=24
$$

$$
x_1=\frac{0}{4}=0,\quad x_2=\frac{-12}{4}=-3,\quad x_3=\frac{24}{4}=6
$$

Обратная матрица:

$$
A^{-1}=\frac14\begin{pmatrix}3&-1&-1\-1&3&-1\-1&-1&3\end{pmatrix}
$$

$$
x=A^{-1}b=
\frac14\begin{pmatrix}3&-1&-1\-1&3&-1\-1&-1&3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}3\0\9\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}0\-3\6\end{pmatrix}
$$

Гаусс:

$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
2&1&1&3\
1&2&1&0\
1&1&2&9
\end{array}\right)
\sim
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&2&1&0\
0&-1&1&9\
0&-3&-1&3
\end{array}\right)
\sim
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&2&1&0\
0&-1&1&9\
0&0&-4&-24
\end{array}\right)
$$

Далее:

$$
x_3=6,\quad -x_2+6=9\Rightarrow x_2=-3,
$$
$$
x_1+2(-3)+6=0\Rightarrow x_1=0.
$$

Ответ: $(0;-3;6)$.

1.95

$$
A=\begin{pmatrix}2&-1&-1\3&4&-2\3&-2&4\end{pmatrix},
\quad b=\begin{pmatrix}4\11\11\end{pmatrix}
$$

Крамер:

$$
\Delta=60,\quad \Delta_1=180,\quad \Delta_2=60,\quad \Delta_3=60
$$

$$
x_1=3,\quad x_2=1,\quad x_3=1
$$

Обратная матрица:

$$
A^{-1}=\frac1{60}
\begin{pmatrix}
12&6&6\
-18&11&1\
-18&1&11
\end{pmatrix}
$$

$$
x=A^{-1}b=
\frac1{60}
\begin{pmatrix}
12&6&6\
-18&11&1\
-18&1&11
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}4\11\11\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}3\1\1\end{pmatrix}
$$

Гаусс:

$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
2&-1&-1&4\
3&4&-2&11\
3&-2&4&11
\end{array}\right)
\sim
\left(\begin{array}{ccc|c}
2&-1&-1&4\
0&1&-1&0\
0&-1&11&10
\end{array}\right)
\sim
\left(\begin{array}{ccc|c}
2&-1&-1&4\
0&1&-1&0\
0&0&10&10
\end{array}\right)
$$

Тогда:

$$
x_3=1,\quad x_2-x_3=0\Rightarrow x_2=1,
$$
$$
2x_1-1-1=4\Rightarrow x_1=3.
$$

Ответ: $(3;1;1)$.

1.96

$$
A=\begin{pmatrix}1&1&2\2&-1&2\4&1&4\end{pmatrix},
\quad b=\begin{pmatrix}-1\-4\-2\end{pmatrix}
$$

Крамер:

$$
\Delta=6,\quad \Delta_1=6,\quad \Delta_2=12,\quad \Delta_3=-12
$$

$$
x_1=1,\quad x_2=2,\quad x_3=-2
$$

Обратная матрица:

$$
A^{-1}=\frac16
\begin{pmatrix}
-6&-2&4\
0&-4&2\
6&3&-3
\end{pmatrix}
$$

$$
x=A^{-1}b=
\frac16
\begin{pmatrix}
-6&-2&4\
0&-4&2\
6&3&-3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}-1\-4\-2\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}1\2\-2\end{pmatrix}
$$

Гаусс:

$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&1&2&-1\
2&-1&2&-4\
4&1&4&-2
\end{array}\right)
\sim
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&1&2&-1\
0&-3&-2&-2\
0&-3&-4&2
\end{array}\right)
\sim
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&1&2&-1\
0&-3&-2&-2\
0&0&-2&4
\end{array}\right)
$$

Тогда:

$$
-2x_3=4\Rightarrow x_3=-2,
$$
$$
-3x_2-2(-2)=-2\Rightarrow -3x_2=-6\Rightarrow x_2=2,
$$
$$
x_1+2+2(-2)=-1\Rightarrow x_1=1.
$$

Ответ: $(1;2;-2)$.

1.97

$$
A=\begin{pmatrix}3&2&1\2&3&1\2&1&3\end{pmatrix},
\quad b=\begin{pmatrix}5\1\11\end{pmatrix}
$$

Крамер:

$$
\Delta=12,\quad \Delta_1=24,\quad \Delta_2=-24,\quad \Delta_3=36
$$

$$
x_1=2,\quad x_2=-2,\quad x_3=3
$$

Обратная матрица:

$$
A^{-1}=\frac1{12}
\begin{pmatrix}
8&-5&-1\
-4&7&-1\
-4&1&5
\end{pmatrix}
$$

$$
x=A^{-1}b=
\frac1{12}
\begin{pmatrix}
8&-5&-1\
-4&7&-1\
-4&1&5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}5\1\11\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}2\-2\3\end{pmatrix}
$$

Гаусс:

$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
3&2&1&5\
2&3&1&1\
2&1&3&11
\end{array}\right)
\sim
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&-1&0&4\
0&5&1&-7\
0&-2&2&10
\end{array}\right)
\sim
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&-1&0&4\
0&5&1&-7\
0&0&12&36
\end{array}\right)
$$

Тогда:

$$
x_3=3,
$$
$$
5x_2+3=-7\Rightarrow x_2=-2,
$$
$$
x_1-(-2)=4\Rightarrow x_1=2.
$$

Ответ: $(2;-2;3)$.

1.98

$$
A=\begin{pmatrix}2&3&5\3&7&4\1&2&2\end{pmatrix},
\quad b=\begin{pmatrix}10\3\3\end{pmatrix}
$$

Крамер:

$$
\Delta=1,\quad \Delta_1=3,\quad \Delta_2=-2,\quad \Delta_3=2
$$

$$
x_1=3,\quad x_2=-2,\quad x_3=2
$$

Обратная матрица:

Так как $\Delta=1$,

$$
A^{-1}=
\begin{pmatrix}
6&4&-23\
-2&-1&7\
-1&-1&5
\end{pmatrix}
$$

$$
x=A^{-1}b=
\begin{pmatrix}
6&4&-23\
-2&-1&7\
-1&-1&5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}10\3\3\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}3\-2\2\end{pmatrix}
$$

Гаусс:

$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
2&3&5&10\
3&7&4&3\
1&2&2&3
\end{array}\right)
\sim
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&2&2&3\
0&1&-2&-6\
0&-1&1&4
\end{array}\right)
\sim
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&2&2&3\
0&1&-2&-6\
0&0&-1&-2
\end{array}\right)
$$

Тогда:

$$
-x_3=-2\Rightarrow x_3=2,
$$
$$
x_2-2\cdot2=-6\Rightarrow x_2=-2,
$$
$$
x_1+2(-2)+2\cdot2=3\Rightarrow x_1=3.
$$

Ответ: $(3;-2;2)$.

Проверка подстановкой даёт верные равенства; например, для 1.95:
$$
2\cdot3-1-1=4,\quad 3\cdot3+4\cdot1-2=11,\quad 3\cdot3-2+4=11.
$$

№	\(x_1\)	\(x_2\)	\(x_3\)	\(\Delta\)
1.94	0	\(-3\)	6	4
1.95	3	1	1	60
1.96	1	2	\(-2\)	6
1.97	2	\(-2\)	3	12
1.98	3	\(-2\)	2	1