5.13 и 5.14 реши пожалуйста

Question

Расшифровка фото нейросетью:
5.13. Докажите, что функция является нечётной:

1. $g(x)=\sqrt{2-x}-\sqrt{2+x}$; 3) $g(x)=\frac{|4x-1|-|4x+1|}{x^4-1}$;

2. $g(x)=\frac{x^2}{\sqrt{3-x}-\sqrt{3+x}}$; 4) $g(x)=\frac{3x+2}{x^2-x+1}+\frac{3x-2}{x^2+x+1}$.

5.14. Исследуйте на чётность функцию:

1. $y=\frac{x-1}{x-1}$; 3) $y=\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x+1}$;

2. $y=\frac{x^2-1}{x^2-1}$; 4) $y=x\mathcal{D}(x)$.

Answer

Кратко: в № 5.13 все четыре функции нечётные. В № 5.14: 1) ни чётная, ни нечётная; 2) чётная; 3) ни чётная, ни нечётная; 4) нечётная.

Главный принцип: сначала проверяем, что область определения симметрична относительно нуля. Затем сравниваем $f(-x)$ с $f(x)$: если $f(-x)=f(x)$, функция чётная; если $f(-x)=-f(x)$, нечётная.

5.13

1) $g(x)=\sqrt{2-x}-\sqrt{2+x}$

Область определения: $-2\le x\le 2$, она симметрична.

$$
g(-x)=\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x}
=-(\sqrt{2-x}-\sqrt{2+x})=-g(x)
$$

Значит, функция нечётная.

2) $g(x)=\frac{x^2}{\sqrt{3-x}-\sqrt{3+x}}$

Область определения: $-3\le x\le 3$, $x\ne 0$, то есть $[-3;0)\cup(0;3]$. Она симметрична.

$$
g(-x)=\frac{x^2}{\sqrt{3+x}-\sqrt{3-x}}
$$

Знаменатель поменял знак, поэтому

$$
g(-x)=-\frac{x^2}{\sqrt{3-x}-\sqrt{3+x}}=-g(x)
$$

Функция нечётная.

3) $g(x)=\frac{|4x-1|-|4x+1|}{x^4-1}$

Область определения: $x\ne \pm 1$, симметрична.

$$
g(-x)=\frac{|-4x-1|-|-4x+1|}{x^4-1}
$$

Так как $|-a|=|a|$,

$$
g(-x)=\frac{|4x+1|-|4x-1|}{x^4-1}
=-g(x)
$$

Функция нечётная.

4) $g(x)=\frac{3x+2}{x^2-x+1}+\frac{3x-2}{x^2+x+1}$

Знаменатели $x^2-x+1$ и $x^2+x+1$ не обращаются в ноль ни при каких $x$, поэтому область определения $\mathbb R$ симметрична.

$$
g(-x)=\frac{-3x+2}{x^2+x+1}+\frac{-3x-2}{x^2-x+1}
$$

С другой стороны,

$$
-g(x)=\frac{-3x-2}{x^2-x+1}+\frac{-3x+2}{x^2+x+1}
$$

Это то же самое, только слагаемые переставлены. Значит,

$$
g(-x)=-g(x)
$$

Функция нечётная.

5.14

1) $y=\frac{x-1}{x-1}$

Область определения: $x\ne 1$. Она не симметрична относительно нуля: например, $-1$ входит в область определения, а $1$ — нет.

Поэтому функция ни чётная, ни нечётная, хотя на своей области определения она равна $1$.

2) $y=\frac{x^2-1}{x^2-1}$

Область определения: $x\ne \pm 1$, симметрична. На ней

$$
y=1
$$

Тогда

$$
y(-x)=1=y(x)
$$

Функция чётная.

3) $y=\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x+1}$

Нужно, чтобы одновременно выполнялись условия $x-1\ge 0$ и $x+1\ge 0$, то есть

$$
x\ge 1
$$

Область определения не симметрична относительно нуля. Значит, функция ни чётная, ни нечётная.

4) $y=x\mathcal D(x)$

Здесь $\mathcal D(x)$ — функция Дирихле: она равна $1$ для рациональных $x$ и $0$ для иррациональных. При замене $x$ на $-x$ рациональность числа не меняется, поэтому

$$
\mathcal D(-x)=\mathcal D(x)
$$

Тогда

$$
y(-x)=(-x)\mathcal D(-x)=-x\mathcal D(x)=-y(x)
$$

Функция нечётная.

5.13 и 5.14 реши пожалуйста

5.13

1) \(g(x)=\sqrt{2-x}-\sqrt{2+x}\)

2) \(g(x)=\frac{x^2}{\sqrt{3-x}-\sqrt{3+x}}\)

3) \(g(x)=\frac{|4x-1|-|4x+1|}{x^4-1}\)

4) \(g(x)=\frac{3x+2}{x^2-x+1}+\frac{3x-2}{x^2+x+1}\)

5.14

1) \(y=\frac{x-1}{x-1}\)

2) \(y=\frac{x^2-1}{x^2-1}\)

3) \(y=\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x+1}\)

4) \(y=x\mathcal D(x)\)

Обсуждение

№ 32. Задания 1–4

1. Тема, основная мысль, авторская позиция

2. Почему это стихотворение в прозе

3. Как понимать выражение «свободный язык»

4. Эпитеты и их функция