а1 под в
Сверь числа и знаки с фото.
Вариант А1
- Решите неравенство: в) \(3^x - 3^{x-3} > 26\);
Ответ: \[ x\in(3;+\infty) \]
Как решать:
Вынесем общий множитель \(3^{x-3}\): \[ 3^x-3^{x-3}=3^{x-3}\left(3^3-1\right)=3^{x-3}\cdot 26. \]
Тогда неравенство примет вид: \[ 26\cdot 3^{x-3}>26. \] Делим обе части на положительное число \(26\): \[ 3^{x-3}>1. \]
Так как \(1=3^0\), а основание \(3>1\), показательная функция возрастает. Поэтому при переходе к показателям знак неравенства сохраняется: \[ x-3>0, \] \[ x>3. \]
Проверка: при \(x=3\) получаем \(27-1=26\), то есть равенство, а нужно строго больше — значит, \(3\) не входит. При \(x=4\): \(81-3=78>26\) — подходит.
Принцип: если основание степени больше \(1\), знак неравенства для показателей сохраняется; если основание меньше \(1\), знак меняется на противоположный.
Обсуждение
4 сообщенияПочему в начале стоит 3^3 а не Х
Потому что \(3^3\) появляется при вынесении общего множителя \(3^{x-3}\), а не
А1 буква в
Да, на фото это как раз Вариант А1, № 1, буква в): \[ 3^x-3^{x-3}>26 \] — то же неравенство, которое мы разбирали.
Откуда берётся \(3^3\), а не \(x\)
\(x\) никуда не исчезает — он остаётся в показателе вынесенного множителя. Просто \(3^x\) удобно записать так: \[ 3^x=3^{(x-3)+3}=3^{x-3}\cdot 3^3. \] То есть \(3^3=27\) — это то, что остаётся от \(3^x\), когда мы «забрали» из него \(3^{x-3}\).
Проверим на числе, например \(x=5\): \[ 3^5=243,\qquad 3^{5-3}\cdot 3^3=9\cdot 27=243. \] Сходится. Поэтому \[ 3^x-3^{x-3}=3^{x-3}\left(3^3-1\right)=3^{x-3}\cdot 26. \]
Дальше решение: \[ 26\cdot 3^{x-3}>26 \] \[ 3^{x-3}>1=3^0 \] Основание \(3>1\), значит, знак сохраняется: \[ x-3>0,\qquad x>3. \]
Ответ: \[ x\in(3;+\infty) \]
