366 реши

Question

366 реши

Расшифровка фото нейросетью:
Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиями (364—366).
366. а) $y=x^2-4x+4$, $y=4-x^2$;
б) $y=x^2-2x+2$, $y=2+6x-x^2$;
в) $y=x^2$, $y=2x-x^2$;
г) $y=x^2$, $y=x^3$.

Answer

Кратко:
а) $S=\dfrac{8}{3}$; б) $S=\dfrac{64}{3}$; в) $S=\dfrac{1}{3}$; г) $S=\dfrac{1}{12}$.

Общий приём. Если на промежутке $[a;b]$ верхняя кривая — $y_{\text{в}}$, а нижняя — $y_{\text{н}}$, то площадь фигуры между ними равна

$$
S=\int_a^b \left(y_{\text{в}}-y_{\text{н}}\right)\,dx.
$$

Сначала находим точки пересечения кривых, решая уравнение $y_1=y_2$. Потом проверяем, какая линия выше, и интегрируем разность «верхняя минус нижняя». На рисунке достаточно отметить точки пересечения и схематично провести обе кривые.

а) $y=x^2-4x+4$, $y=4-x^2$

Приравниваем:

$$
x^2-4x+4=4-x^2
$$

$$
2x^2-4x=0 \quad\Rightarrow\quad 2x(x-2)=0,
$$

значит, $x=0$ и $x=2$. На $(0;2)$ выше $y=4-x^2$, например при $x=1$: $3>1$.

$$
S_a=\int_0^2\left((4-x^2)-(x^2-4x+4)\right)\,dx
$$

$$
S_a=\int_0^2(4x-2x^2)\,dx
=\left[2x^2-\frac{2x^3}{3}\right]_0^2
=8-\frac{16}{3}
=\frac{8}{3}.
$$

Ответ а: $\dfrac{8}{3}$.

б) $y=x^2-2x+2$, $y=2+6x-x^2$

$$
x^2-2x+2=2+6x-x^2
$$

$$
2x^2-8x=0 \quad\Rightarrow\quad 2x(x-4)=0,
$$

поэтому $x=0$ и $x=4$. На этом промежутке выше вторая кривая $y=2+6x-x^2$.

$$
S_b=\int_0^4\left((2+6x-x^2)-(x^2-2x+2)\right)\,dx
$$

$$
S_b=\int_0^4(8x-2x^2)\,dx
=\left[4x^2-\frac{2x^3}{3}\right]_0^4
=64-\frac{128}{3}
=\frac{64}{3}.
$$

Ответ б: $\dfrac{64}{3}$.

в) $y=x^2$, $y=2x-x^2$

$$
x^2=2x-x^2
$$

$$
2x^2-2x=0 \quad\Rightarrow\quad 2x(x-1)=0,
$$

значит, $x=0$ и $x=1$. Выше $y=2x-x^2$.

$$
S_c=\int_0^1\left((2x-x^2)-x^2\right)\,dx
$$

$$
S_c=\int_0^1(2x-2x^2)\,dx
=\left[x^2-\frac{2x^3}{3}\right]_0^1
=1-\frac{2}{3}
=\frac{1}{3}.
$$

Ответ в: $\dfrac{1}{3}$.

г) $y=x^2$, $y=x^3$

$$
x^2=x^3
$$

$$
x^2(1-x)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0,\ x=1.
$$

На $(0;1)$ выполняется $x^2>x^3$, поэтому верхняя кривая — $y=x^2$.

$$
S_g=\int_0^1(x^2-x^3)\,dx
=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1
=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}
=\frac{1}{12}.
$$

Ответ г: $\dfrac{1}{12}$.

Проверка. В каждом случае подынтегральная разность положительна на промежутке между точками пересечения, поэтому все площади получились положительными. Если бы интеграл вышел отрицательным, это означало бы, что верхнюю и нижнюю кривые перепутали.

366 реши

а) \(y=x^2-4x+4\), \(y=4-x^2\)

б) \(y=x^2-2x+2\), \(y=2+6x-x^2\)

в) \(y=x^2\), \(y=2x-x^2\)

г) \(y=x^2\), \(y=x^3\)