Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ:
\[
x_1=2,\qquad x_2=3.
\]
Решение:
\[ x^2-5x+6=0 \]
Ищем два числа, произведение которых равно \(6\), а сумма равна \(5\): это \(2\) и \(3\). Поэтому
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Получаем:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0, \]
откуда
\[ x=2 \quad \text{или} \quad x=3. \]
Проверка:
\[ 2^2-5\cdot 2+6=4-10+6=0, \]
\[ 3^2-5\cdot 3+6=9-15+6=0. \]
Оба корня подходят.
Принцип: для приведённого квадратного уравнения \(x^2+px+q=0\) можно искать корни по теореме Виета:
\[ x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q. \]
Здесь \(p=-5,\ q=6\), значит, сумма корней равна \(5\), а произведение \(6\).
Обсуждение
2 сообщенияА как решить это же уравнение через дискриминант?
Через дискриминант:
Уравнение имеет вид
\[ ax^2+bx+c=0, \]
где
\[ a=1,\qquad b=-5,\qquad c=6. \]
Формула дискриминанта:
\[ D=b^2-4ac. \]
Подставляем:
\[ D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1. \]
Так как \(D>0\), уравнение имеет два разных корня:
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \]
Тогда
\[ x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm 1}{2}. \]
Значит,
\[ x_1=\frac{5-1}{2}=2, \]
\[ x_2=\frac{5+1}{2}=3. \]
Ответ:
\[ x_1=2,\qquad x_2=3. \]
Проверка: при \(x=2\) и \(x=3\) левая часть равна нулю, значит, корни найдены верно.
