слелай 1е зодание

Это задание 1 — нужно решить уравнения. Решаю все пункты.

Краткие ответы

• а) \(x_1=3,\ x_2=5\)
• б) \(x_1=5,\ x_2=-\frac{19}{3}\)
• в) \(x_1=3,\ x_2=\frac14\)
• г) \(x=-2\)
• д) \(x_1=\frac15,\ x_2=-\frac15\)
• е) \(x_1=0,\ x_2=\frac{11}{2}\)
• ж) \(x=\frac43\)

Как решать

Общий принцип: уравнение сводим к более простому виду — раскрываем скобки, избавляемся от дробей умножением на общий знаменатель, затем решаем линейное или квадратное уравнение.

а)
\[ x^2-8x+15=0 \] Можно разложить: \[ x^2-8x+15=(x-3)(x-5) \] Значит: \[ x_1=3,\quad x_2=5 \]

б)
\[ \frac{(x+1)^2}{12}-\frac{1-x^2}{24}=4 \] Умножаем всё на 24: \[ 2(x+1)^2-(1-x^2)=96 \] Раскрываем скобки: \[ 3x^2+4x-95=0 \] Дискриминант: \[ D=4^2-4\cdot3\cdot(-95)=1156=34^2 \] \[ x=\frac{-4\pm34}{6} \] Отсюда: \[ x_1=5,\quad x_2=-\frac{19}{3} \]

в)
\[ x^2-\frac{13}{4}x+0{,}75=0 \] Умножаем на 4: \[ 4x^2-13x+3=0 \] \[ D=169-48=121=11^2 \] \[ x=\frac{13\pm11}{8} \] \[ x_1=3,\quad x_2=\frac14 \]

г)
\[ (8x-1)(2x-3)-(4x-1)^2=38 \] Раскрываем скобки: \[ 16x^2-26x+3-(16x^2-8x+1)=38 \] \[ -18x+2=38 \] \[ -18x=36 \] \[ x=-2 \]

д)
\[ \frac13(15x-1)(1+15x)=\frac83 \] Умножаем на 3: \[ (15x-1)(15x+1)=8 \] По формуле разности квадратов: \[ 225x^2-1=8 \] \[ 225x^2=9 \] \[ x^2=\frac1{25} \] \[ x=\pm\frac15 \]

е)
\[ (6-x)(x+6)-(x-11)x=36 \] \[ 36-x^2-(x^2-11x)=36 \] \[ -2x^2+11x=0 \] \[ x(11-2x)=0 \] \[ x_1=0,\quad x_2=\frac{11}{2} \]

ж)
\[ 9x^2-\frac{(12x-11)(3x+8)}{4}=1 \] Умножаем на 4: \[ 36x^2-(12x-11)(3x+8)=4 \] Раскрываем произведение: \[ (12x-11)(3x+8)=36x^2+63x-88 \] Тогда: \[ 36x^2-(36x^2+63x-88)=4 \] \[ -63x+88=4 \] \[ -63x=-84 \] \[ x=\frac{84}{63}=\frac43 \]

Проверка для ж): \[ 9\cdot\frac{16}{9}-\frac{(16-11)(4+8)}{4} =16-\frac{5\cdot12}{4} =16-15=1 \] Верно.

Здесь знаменатели — числа \(12\), \(24\), \(4\), поэтому при умножении на них мы не теряем корни и не получаем посторонних.