Контрольная работа №1 по теме: Функция. Квадратичная функция, её график и свойства. 2 вариант

Кратко

1. \(f(-2)=3\), \(f(5)=\dfrac54=1{,}25\); нули функции: \(x=0\) и \(x=4\).
2. \(D(f)=(-\infty;-5)\cup(-5;4)\cup(4;+\infty)\).
3. Вершина параболы \((1;-9)\), нули \(x=-2\) и \(x=4\).
   Область значений: \([-9;+\infty)\); возрастает на \([1;+\infty)\); \(f(x)<0\) при \(x\in(-2;4)\).
4. Графики получаются сдвигами графика \(y=\sqrt{x}\):
   1. вниз на 2; 2) вправо на 2.
5. \(D(f)=[1;3)\cup(3;+\infty)\).
6. \(b=12,\ c=13\).

---

1. Значения функции и нули

\[ f(x)=\frac14x^2-x \]

\[ f(-2)=\frac14\cdot(-2)^2-(-2)=1+2=3 \]

\[ f(5)=\frac14\cdot25-5=\frac{25}{4}-\frac{20}{4}=\frac54=1{,}25 \]

Нули функции — это \(x\), при которых \(f(x)=0\):

\[ \frac14x^2-x=0 \]

\[ x\left(\frac14x-1\right)=0 \]

Отсюда:

\[ x=0 \quad \text{или} \quad x=4 \]

Нули функции: \(x=0,\ x=4\).

---

2. Область определения дробной функции

\[ f(x)=\frac{x+2}{x^2+x-20} \]

Нельзя делить на нуль, поэтому:

\[ x^2+x-20\ne0 \]

Разложим знаменатель:

\[ x^2+x-20=(x+5)(x-4) \]

Значит:

\[ x\ne-5,\qquad x\ne4 \]

Область определения:

\[ D(f)=(-\infty;-5)\cup(-5;4)\cup(4;+\infty) \]

---

3. Парабола \(f(x)=x^2-2x-8\)

Ветви направлены вверх, так как коэффициент при \(x^2\) равен \(1>0\).

Вершина:

\[ x_0=-\frac{-2}{2\cdot1}=1 \]

\[ y_0=1^2-2\cdot1-8=1-2-8=-9 \]

Вершина: \((1;-9)\).

Нули:

\[ x^2-2x-8=0 \]

\[ (x-4)(x+2)=0 \]

\[ x=4,\qquad x=-2 \]

Для построения графика полезны точки:

\[ (0;-8),\quad (2;-8),\quad (-2;0),\quad (4;0),\quad (1;-9) \]

Свойства:

1. Область значений:

\[ [-9;+\infty) \]

2. Функция возрастает на промежутке:

\[ [1;+\infty) \]

3. Неравенство \(f(x)<0\). Парабола ниже оси \(Ox\) между корнями:

\[ x\in(-2;4) \]

---

4. Графики с корнем

1) \(f(x)=\sqrt{x}-2\)

Это график \(y=\sqrt{x}\), сдвинутый на \(2\) единицы вниз.

Область определения:

\[ x\ge0 \]

Область значений:

\[ y\ge-2 \]

Точки для построения:

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(4\)	\(9\)
\(f(x)\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)

2) \(f(x)=\sqrt{x-2}\)

Это график \(y=\sqrt{x}\), сдвинутый на \(2\) единицы вправо.

Область определения:

\[ x-2\ge0 \Rightarrow x\ge2 \]

Область значений:

\[ y\ge0 \]

Точки для построения:

\(x\)	\(2\)	\(3\)	\(6\)	\(11\)
\(f(x)\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)

---

5. Область определения функции с корнем и дробью

\[ f(x)=\sqrt{x-1}+\frac{2}{x^2-9} \]

Нужно одновременно:

\[ x-1\ge0 \]

и

\[ x^2-9\ne0 \]

Из первого условия:

\[ x\ge1 \]

Из второго:

\[ x\ne3,\qquad x\ne-3 \]

Но \(x=-3\) не входит в \(x\ge1\), поэтому исключаем только \(3\).

Ответ:

\[ D(f)=[1;3)\cup(3;+\infty) \]

---

6. Вершина параболы \(y=3x^2+bx+c\)

Для параболы \(y=ax^2+bx+c\) абсцисса вершины:

\[ x_0=-\frac{b}{2a} \]

Здесь \(a=3\), вершина имеет абсциссу \(-2\):

\[ -\frac{b}{2\cdot3}=-2 \]

\[ -\frac{b}{6}=-2 \]

\[ b=12 \]

Теперь подставим координаты вершины \(A(-2;1)\) в уравнение:

\[ 1=3\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)+c \]

\[ 1=12-2b+c \]

При \(b=12\):

\[ 1=12-24+c \]

\[ 1=-12+c \]

\[ c=13 \]

Ответ:

\[ b=12,\qquad c=13 \]

Проверка: \(y=3x^2+12x+13=3(x+2)^2+1\), вершина действительно \((-2;1)\).