3.172

Краткий ответ

а) \(142934 = 35 \cdot 4083 + 29\) — неполное частное 4083, остаток 29;

б) \(199808 = 64 \cdot 3122 + 0\) — частное 3122, остаток 0;

в) \(125307 = 266 \cdot 471 + 21\) — неполное частное 471, остаток 21;

г) \(145773 = 319 \cdot 456 + 309\) — неполное частное 456, остаток 309.

Почему так

При делении с остатком ищут целое неполное частное \(q\) и остаток \(r\), для которых

\[ a = bq + r,\qquad 0 \le r < b. \]

Главное условие: остаток всегда меньше делителя. Если \(r=0\), то число разделилось нацело.

Частное удобно подбирать по разрядам. Например, для \(142934 : 35\):

• \(35 \cdot 4000 = 140000\), остаётся \(2934\);
• \(35 \cdot 80 = 2800\), остаётся \(134\);
• \(35 \cdot 3 = 105\), остаётся \(29\).

Значит, \(q = 4000+80+3 = 4083\), а \(r = 29\).

Проверка умножением

• \(35 \cdot 4083 + 29 = 142905 + 29 = 142934\);
• \(64 \cdot 3122 + 0 = 199808\);
• \(266 \cdot 471 + 21 = 125286 + 21 = 125307\);
• \(319 \cdot 456 + 309 = 145464 + 309 = 145773\).

Во всех случаях остаток меньше делителя: \(29<35\), \(0<64\), \(21<266\), \(309<319\). Поэтому деление выполнено верно.