1. Функция задана формулой f(x) = 1/3 x² - 2x. Найдите: 1) f(-6) и f(2); 2) нули функции.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
1. Функция задана формулой $f(x) = \frac{1}{3}x^2 - 2x$. Найдите:

1. $f(-6)$ и $f(2)$; 2) нули функции.

2. Найдите область определения функции $f(x) = \frac{x-4}{x^2 - x - 6}$.

3. Постройте график функции $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Используя график, найдите:

1. область значений функции;

2. промежуток убывания функции;

3. множество решений неравенства $f(x) > 0$.

4. Постройте график функции:

1. $f(x) = \sqrt{x} + 1$; 2) $f(x) = \sqrt{x + 1}$.

5. Найдите область определения функции $f(x) = \sqrt{x - 2} + \frac{7}{x^2 - 16}$.

6. При каких значениях $b$ и $c$ вершина параболы $y = 2x^2 + bx + c$ находится в точке $A(-3; -2)$?

Answer

Краткие ответы:

1. $f(-6)=24$, $f(2)=-\frac{8}{3}$; нули: $x=0$ и $x=6$.

2. $D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;3)\cup(3;+\infty)$.

3. График — парабола с вершиной $(2;-1)$; 1) $E(f)=[-1;+\infty)$; 2) убывает на $(-\infty;2]$; 3) $f(x)>0$ при $x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty)$.

4.
1. график $y=\sqrt{x}$ сдвинут на 1 вверх; 2) график $y=\sqrt{x}$ сдвинут на 1 влево.

5. $D(f)=[2;4)\cup(4;+\infty)$.

6. $b=12$, $c=16$.

Подробное решение

1. Подставляем значения в формулу:
$$
f(-6)=\frac{1}{3}(-6)^2-2\cdot(-6)=\frac{36}{3}+12=12+12=24.
$$
$$
f(2)=\frac{1}{3}\cdot2^2-2\cdot2=\frac{4}{3}-4=-\frac{8}{3}.
$$
Нули функции — это решения уравнения $f(x)=0$:
$$
\frac{1}{3}x^2-2x=0,\qquad x\left(\frac{1}{3}x-2\right)=0.
$$
Отсюда $x=0$ или $\frac{1}{3}x=2$, то есть $x=6$.

2. Дробь имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю:
$$
x^2-x-6\neq0.
$$
Найдём корни уравнения $x^2-x-6=0$:
$$
D=1+24=25,\qquad x_{1,2}=\frac{1\pm5}{2},
$$
$$
x_1=3,\qquad x_2=-2.
$$
Значит, $x\neq-2$ и $x\neq3$. Область определения:
$$
(-\infty;-2)\cup(-2;3)\cup(3;+\infty).
$$

3. Для параболы $f(x)=x^2-4x+3$:

ветви направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1>0$;

вершина: $x_0=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2}=2$, $y_0=2^2-4\cdot2+3=-1$, точка $(2;-1)$;

нули: $x^2-4x+3=0$, откуда $x_1=1$, $x_2=3$;

точка пересечения с осью $Oy$: $f(0)=3$, то есть $(0;3)$.

По графику:

1. наименьшее значение равно $-1$, поэтому область значений $E(f)=[-1;+\infty)$;

2. функция убывает на промежутке $(-\infty;2]$;

3. неравенство $f(x)>0$ выполняется там, где график выше оси $Ox$: $x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty)$.

4.

1. $f(x)=\sqrt{x}+1$. Берём график $y=\sqrt{x}$ и сдвигаем его на 1 единицу вверх. Область определения $x\ge0$, область значений $y\ge1$. Опорные точки: $(0;1)$, $(1;2)$, $(4;3)$, $(9;4)$.

2. $f(x)=\sqrt{x+1}$. Здесь подкоренное выражение $x+1\ge0$, поэтому $x\ge-1$. График $y=\sqrt{x}$ сдвигаем на 1 единицу влево. Опорные точки: $(-1;0)$, $(0;1)$, $(3;2)$, $(8;3)$.

В обоих случаях через эти точки проводим плавную кривую.

5. Нужно учесть два условия:
$$
x-2\ge0 \quad\text{и}\quad x^2-16\neq0.
$$
Первое даёт $x\ge2$. Второе: $x^2\neq16$, то есть $x\neq4$ и $x\neq-4$. Значение $-4$ не входит в $x\ge2$, а $4$ нужно исключить. Получаем:
$$
D(f)=[2;4)\cup(4;+\infty).
$$

6. Абсцисса вершины параболы $y=2x^2+bx+c$:
$$
x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{4}.
$$
По условию $x_0=-3$, значит:
$$
-\frac{b}{4}=-3 \quad\Rightarrow\quad b=12.
$$
Так как точка $A(-3;-2)$ лежит на параболе, подставляем её координаты:
$$
-2=2\cdot(-3)^2+12\cdot(-3)+c,
$$
$$
-2=18-36+c \quad\Rightarrow\quad -2=-18+c \quad\Rightarrow\quad c=16.
$$
Проверка: $y=2x^2+12x+16=2(x^2+6x+8)=2\bigl((x+3)^2-1\bigr)$, вершина действительно $(-3;-2)$.