1. Функция задана формулой f(x)=1/3 x²−2x. Найдите: 1) f(−6) и f(2); 2) нули функции.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
- Функция задана формулой \(f(x)=\frac{1}{3}x^2-2x\). Найдите:
- \(f(-6)\) и \(f(2)\); 2) нули функции.
- Найдите область определения функции \(f(x)=\frac{x-4}{x^2-x-6}\).
- Постройте график функции \(f(x)=x^2-4x+3\). Используя график, найдите:
- область значений функции;
- промежуток убывания функции;
- множество решений неравенства \(f(x)>0\).
- Постройте график функции:
- \(f(x)=\sqrt{x}+1\); 2) \(f(x)=\sqrt{x+1}\).
- Найдите область определения функции \(f(x)=\sqrt{x-2}+\frac{7}{x^2-16}\).
- При каких значениях \(b\) и \(c\) вершина параболы \(y=2x^2+bx+c\) находится в точке \(A(-3;-2)\)?
Краткие ответы
- \(f(-6)=24\), \(f(2)=-\dfrac{8}{3}\); нули функции: \(x=0\) и \(x=6\).
- \(D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;3)\cup(3;+\infty)\).
- График — парабола с вершиной \((2;-1)\) и нулями \(1\) и \(3\):
- область значений \([-1;+\infty)\);
- промежуток убывания \((-\infty;2]\);
- \(f(x)>0\) при \(x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty)\).
- график \(y=\sqrt{x}\), сдвинутый на \(1\) вверх; 2) график \(y=\sqrt{x}\), сдвинутый на \(1\) влево.
- \(D(f)=[2;4)\cup(4;+\infty)\).
- \(b=12\), \(c=16\).
Как это получается
1. Подставляем \(x\) в формулу: \[ f(-6)=\frac{1}{3}\cdot 36-2\cdot(-6)=12+12=24, \] \[ f(2)=\frac{1}{3}\cdot 4-4=\frac{4}{3}-\frac{12}{3}=-\frac{8}{3}. \] Нули функции — это решения \(f(x)=0\): \[ \frac{1}{3}x^2-2x=0 \quad\Rightarrow\quad x\left(\frac{1}{3}x-2\right)=0. \] Значит, \(x=0\) или \(x=6\). Проверка: \(f(6)=\frac{1}{3}\cdot36-12=0\).
2. Дробь существует, когда знаменатель не равен нулю: \[ x^2-x-6\ne0. \] Решаем \(x^2-x-6=0\), получаем \(x=3\) и \(x=-2\). Эти точки выкалываем: \[ D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;3)\cup(3;+\infty). \]
3. Выделяем полный квадрат: \[ x^2-4x+3=(x-2)^2-1. \] Ветви параболы направлены вверх, вершина — \((2;-1)\), нули — \(x=1\) и \(x=3\).
- Наименьшее значение функции равно \(-1\), поэтому \(E(f)=[-1;+\infty)\).
- Слева от вершины функция убывает: \((-\infty;2]\).
- Выше оси \(Ox\) график находится при \(x<1\) и \(x>3\), поэтому \[ f(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty). \]
4. Строим по точкам и сдвигам:
- \(f(x)=\sqrt{x}+1\) — обычная ветвь \(y=\sqrt{x}\), поднятая вверх на \(1\). Область определения \(x\ge0\). Точки: \((0;1)\), \((1;2)\), \((4;3)\), \((9;4)\).
- \(f(x)=\sqrt{x+1}\) — та же ветвь, сдвинутая влево на \(1\). Область определения \(x\ge-1\). Точки: \((-1;0)\), \((0;1)\), \((3;2)\), \((8;3)\).
5. Нужны одновременно два условия: \[ x-2\ge0 \quad\text{и}\quad x^2-16\ne0. \] То есть \(x\ge2\) и \(x\ne\pm4\). Так как \(-4<2\), остаётся только \(x\ne4\): \[ D(f)=[2;4)\cup(4;+\infty). \]
6. Для параболы \(y=ax^2+bx+c\) абсцисса вершины: \[ x_0=-\frac{b}{2a}. \] Здесь \(a=2\), \(x_0=-3\): \[ -\frac{b}{4}=-3 \quad\Rightarrow\quad b=12. \] Теперь подставляем точку \((-3;-2)\) в уравнение: \[ -2=2\cdot(-3)^2+12\cdot(-3)+c, \] \[ -2=18-36+c \quad\Rightarrow\quad c=16. \] Проверка: \[ y=2x^2+12x+16=2(x+3)^2-2, \] вершина действительно \((-3;-2)\).
