разбери каждое решение и объясни все

Сначала дам краткие ответы, затем покажу, как они получаются.

Кратко

1. \(f(-6)=24\), \(f(2)=-\frac{8}{3}\); нули функции: \(x=0\) и \(x=6\).
2. \(D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;3)\cup(3;+\infty)\).
3. Область значений: \([-1;+\infty)\); убывает на \((-\infty;2]\); \(f(x)>0\) при \(x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty)\).
4. Графики — сдвиги графика \(y=\sqrt{x}\): – вверх на 1; – влево на 1.
5. \(D(f)=[2;4)\cup(4;+\infty)\).
6. \(b=12\), \(c=16\).

Подробно

1. Значения функции и нули

Дана функция

\[ f(x)=\frac{1}{3}x^2-2x. \]

Подставляем \(x=-6\):

\[ f(-6)=\frac{1}{3}\cdot (-6)^2-2\cdot(-6) =12+12=24. \]

Подставляем \(x=2\):

\[ f(2)=\frac{1}{3}\cdot 4-4 =\frac{4}{3}-\frac{12}{3} =-\frac{8}{3}. \]

Нули функции — это такие \(x\), при которых \(f(x)=0\):

\[ \frac{1}{3}x^2-2x=0. \]

Умножим всё уравнение на 3:

\[ x^2-6x=0, \]

\[ x(x-6)=0. \]

Значит,

\[ x=0 \quad \text{или} \quad x=6. \]

Проверка: \(f(0)=0\), \(f(6)=\frac{36}{3}-12=12-12=0\). Всё верно.

---

2. Область определения дробной функции

\[ f(x)=\frac{x-4}{x^2-x-6}. \]

Дробь существует, когда знаменатель не равен нулю:

\[ x^2-x-6\ne 0. \]

Разложим на множители:

\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2). \]

Знаменатель равен нулю при \(x=3\) и \(x=-2\). Эти значения надо исключить. Числитель \(x-4\) на область определения не влияет: если \(x=4\), функция равна нулю, но существует.

\[ D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;3)\cup(3;+\infty). \]

---

3. Квадратичная функция \(f(x)=x^2-4x+3\)

Выделим полный квадрат:

\[ x^2-4x+3=(x^2-4x+4)-1=(x-2)^2-1. \]

Значит, вершина параболы — точка

\[ (2;-1). \]

Ветви направлены вверх, потому что коэффициент перед \(x^2\) равен \(1>0\).

Найдём нули:

\[ x^2-4x+3=0, \]

\[ (x-1)(x-3)=0, \]

\[ x=1,\quad x=3. \]

График можно построить по точкам:

\(x\)	0	1	2	3	4
\(y\)	3	0	-1	0	3

1) Область значений

Самое маленькое значение функции — в вершине:

\[ y_{\min}=-1. \]

Ветви уходят вверх, поэтому

\[ E(f)=[-1;+\infty). \]

2) Промежуток убывания

До вершины \(x=2\) график идёт вниз. Поэтому функция убывает на

\[ (-\infty;2]. \]

Иногда в школе записывают без включения вершины: \((-\infty;2)\). Смысл тот же: левее \(x=2\) функция убывает.

3) Решение неравенства \(f(x)>0\)

Нужно найти, где парабола выше оси \(Ox\). Корни \(1\) и \(3\), ветви вверх, значит:

\[ x<1 \quad \text{или} \quad x>3. \]

То есть

\[ x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty). \]

Точки \(1\) и \(3\) не включаем, потому что неравенство строгое.

---

4. Графики функций с корнем

1) \(f(x)=\sqrt{x}+1\)

Подкоренное выражение:

\[ x\ge 0. \]

График \(y=\sqrt{x}\) сдвинут вверх на 1. Начало графика — точка \((0;1)\). Левее нуля графика нет.

Характерные точки:

\(x\)	0	1	4	9
\(y\)	1	2	3	4

Область значений:

\[ [1;+\infty). \]

2) \(f(x)=\sqrt{x+1}\)

Здесь

\[ x+1\ge 0, \]

поэтому

\[ x\ge -1. \]

Это график \(y=\sqrt{x}\), сдвинутый влево на 1. Начало графика — точка \((-1;0)\).

Характерные точки:

\(x\)	-1	0	3	8
\(y\)	0	1	2	3

Область значений:

\[ [0;+\infty). \]

Оба графика — только правая «половинка» параболы, направленная вправо.

---

5. Область определения функции с корнем и дробью

\[ f(x)=\sqrt{x-2}+\frac{7}{x^2-16}. \]

Должны выполняться два условия:

\[ \begin{cases} x-2\ge 0,\\ x^2-16\ne 0. \end{cases} \]

Первое условие:

\[ x\ge 2. \]

Второе:

\[ x^2-16\ne0, \]

\[ x\ne -4,\quad x\ne 4. \]

Но \(x=-4\) и так не входит в промежуток \(x\ge2\). Остаётся исключить только \(x=4\).

\[ D(f)=[2;4)\cup(4;+\infty). \]

Точка \(x=2\) включается: корень равен нулю, а дробь при \(x=2\) существует.

---

6. Вершина параболы в заданной точке

Дана парабола

\[ y=2x^2+bx+c, \]

её вершина находится в точке \(A(-3;-2)\).

Формула абсциссы вершины:

\[ x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}. \]

Здесь \(a=2\), поэтому

\[ -3=-\frac{b}{4}. \]

Отсюда

\[ b=12. \]

Теперь используем то, что вершина лежит на параболе: при \(x=-3\) значение функции равно \(-2\).

\[ -2=2\cdot(-3)^2+12\cdot(-3)+c. \]

\[ -2=18-36+c, \]

\[ -2=-18+c, \]

\[ c=16. \]

Ответ:

\[ b=12,\quad c=16. \]

Проверка:

\[ y=2x^2+12x+16=2(x+3)^2-2. \]

Вершина действительно \((-3;-2)\).

---

Что важно запомнить

• Дробь определена, когда знаменатель не равен нулю.
• Корень \( \sqrt{A} \) определён при \(A\ge 0\).
• У параболы \(y=ax^2+bx+c\) вершина имеет абсциссу \(x=-\frac{b}{2a}\).
• Для квадратичной функции знак неравенства удобно определять по графику: выше оси или ниже оси.