Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x^{2}-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=2,\; x_{2}=3 \]

Как это получить

Способ 1. По теореме Виета (уравнение вида \(x^{2}+px+q=0\))

Сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\). Здесь \(p=-5\), \(q=6\), значит:

\[ x_{1}+x_{2}=5,\qquad x_{1}\cdot x_{2}=6 \]

Подбираем два числа: \(2+3=5\) и \(2\cdot 3=6\). Это \(2\) и \(3\).

Способ 2. Разложить на множители

\[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3) \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-2=0 \;\text{или}\; x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=2 \;\text{или}\; x=3 \]

Способ 3. Через дискриминант (работает всегда)

\[ D=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]

\[ x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm 1}{2} \]

\[ x_{1}=\frac{6}{2}=3,\qquad x_{2}=\frac{4}{2}=2 \]

Проверка

\[ 2^{2}-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \]

\[ 3^{2}-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \]

Оба корня подходят. Ответ: \(x_{1}=2,\; x_{2}=3\).

Главный принцип: квадратное уравнение можно решить подбором по Виету (быстро, если корни целые), разложением на множители или через дискриминант (универсально).