реши все пошагово и объясни как это все решать

Краткие ответы

1. \(f(-6)=24\), \(f(2)=-\frac{8}{3}\); нули функции: \(x=0\) и \(x=6\).
2. \(D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;3)\cup(3;+\infty)\).
3. \(E(f)=[-1;+\infty)\); убывает на \((-\infty;2]\); \(f(x)>0\) при \(x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty)\).
4. Оба графика — сдвиги «половинки параболы» \(y=\sqrt{x}\): первый на 1 вверх, второй на 1 влево (точки ниже).
5. \(D(f)=[2;4)\cup(4;+\infty)\).
6. \(b=12\), \(c=16\).

---

1. Значения функции и нули

Принцип: «найти \(f(a)\)» — значит подставить \(x=a\) и аккуратно посчитать, следя за знаками. «Нули функции» — это \(x\), при которых \(f(x)=0\).

\[ f(-6)=\frac{1}{3}\cdot(-6)^2-2\cdot(-6)=\frac{36}{3}+12=12+12=24 \]

\[ f(2)=\frac{1}{3}\cdot 2^2-2\cdot 2=\frac{4}{3}-4=\frac{4-12}{3}=-\frac{8}{3}=-2\frac{2}{3} \]

Нули: решаем \(\frac{1}{3}x^2-2x=0\). Умножим на 3:

\[ x^2-6x=0 \;\Rightarrow\; x(x-6)=0 \;\Rightarrow\; x=0 \text{ или } x=6 \]

Проверка: \(f(6)=\frac{36}{3}-12=12-12=0\) — верно.

2. Область определения дроби

Принцип: дробь существует, когда знаменатель не равен нулю. Числитель ограничений не даёт.

\[ x^2-x-6=0 \;\Rightarrow\; (x-3)(x+2)=0 \;\Rightarrow\; x=3,\; x=-2 \]

Значит, \(x\neq 3\) и \(x\neq -2\):

\[ D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;3)\cup(3;+\infty) \]

3. Парабола \(f(x)=x^2-4x+3\)

Принцип: вершина параболы \(y=ax^2+bx+c\) имеет абсциссу \(x_0=-\frac{b}{2a}\), ординату \(y_0=f(x_0)\). Ветви при \(a>0\) идут вверх.

\[ x_0=-\frac{-4}{2}=2,\qquad y_0=2^2-4\cdot 2+3=-1 \]

Вершина \((2;-1)\). Корни: \(x^2-4x+3=0\), по Виету \(x_1=1\), \(x_2=3\). Ещё точка пересечения с осью \(Oy\): \((0;3)\) и симметричная ей \((4;3)\).

1. Наименьшее значение функции \(-1\) (в вершине), сверху график не ограничен: \[ E(f)=[-1;+\infty) \]
2. До вершины график идёт вниз, после — вверх, значит функция убывает на \[ (-\infty;2] \]
3. \(f(x)>0\) там, где график выше оси \(Ox\), то есть левее \(x=1\) и правее \(x=3\). Сами точки \(1\) и \(3\) не входят (неравенство строгое): \[ x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty) \]

4. Графики корней

Принцип: график \(y=\sqrt{x}\) — ветвь из точки \((0;0)\); прибавление числа к функции сдвигает график вверх, прибавление числа к аргументу — влево.

1) \(f(x)=\sqrt{x}+1\): область определения \(x\ge 0\), график \(y=\sqrt{x}\) поднят на 1 вверх. Точки: \((0;1)\), \((1;2)\), \((4;3)\), \((9;4)\). Ветвь возрастает и «выполаживается».

2) \(f(x)=\sqrt{x+1}\): подкоренное \(x+1\ge 0\), то есть \(x\ge -1\). Это сдвиг \(y=\sqrt{x}\) на 1 влево. Точки: \((-1;0)\), \((0;1)\), \((3;2)\), \((8;3)\).

5. Область определения суммы

Принцип: нужны одновременно все условия: под корнем чётной степени — неотрицательное выражение, в знаменателе — не нуль.

\[ \begin{cases} x-2\ge 0\\ x^2-16\neq 0\end{cases} \;\Rightarrow\; \begin{cases} x\ge 2\\ x\neq 4,\; x\neq -4\end{cases} \]

Значения \(x=-4\) и так не подходят из-за \(x\ge 2\), поэтому остаётся \(x\ge 2\), но \(x\neq 4\):

\[ D(f)=[2;4)\cup(4;+\infty) \]

6. Вершина параболы \(y=2x^2+bx+c\) в точке \(A(-3;-2)\)

Принцип: вершина даёт два условия: её абсцисса равна \(-\frac{b}{2a}\), а её ордината равна значению функции в этой точке.

Абсцисса вершины: \[ -\frac{b}{2\cdot 2}=-3 \;\Rightarrow\; -\frac{b}{4}=-3 \;\Rightarrow\; b=12 \]

Точка \(A\) лежит на параболе, подставляем \(x=-3\), \(y=-2\): \[ 2\cdot(-3)^2+12\cdot(-3)+c=-2 \] \[ 18-36+c=-2 \;\Rightarrow\; -18+c=-2 \;\Rightarrow\; c=16 \]

Проверка: \(y=2x^2+12x+16=2(x^2+6x)+16=2(x+3)^2-18+16=2(x+3)^2-2\) — вершина действительно \((-3;-2)\).

Общий вывод по теме: почти все задания сводятся к трём действиям — найти ограничения (знаменатель, корень), найти вершину/корни параболы по формулам и прочитать ответ по графику.