1. Функция задана формулой f(x) = 1/3 x² − 2x. Найдите: 1) f(−6) и f(2); 2) нули функции.

Краткие ответы:

1. \(f(-6)=24\), \(f(2)=-\frac{8}{3}\); нули функции: \(x=0\), \(x=6\).
2. \(D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;3)\cup(3;+\infty)\).
3. Область значений: \([-1;+\infty)\); функция убывает при \(x\le 2\); \(f(x)>0\) при \(x<1\) или \(x>3\).
4. Графики — сдвиги графика \(y=\sqrt{x}\): первый вверх на 1, второй влево на 1.
5. \(D(f)=[2;4)\cup(4;+\infty)\).
6. \(b=12\), \(c=16\).

---

1. Значения функции и нули

Дано: \[ f(x)=\frac{1}{3}x^2-2x. \]

Считаем: \[ f(-6)=\frac{(-6)^2}{3}-2(-6)=12+12=24, \] \[ f(2)=\frac{2^2}{3}-2\cdot2=\frac{4}{3}-4=-\frac{8}{3}. \]

Нули функции — это решения уравнения \(f(x)=0\): \[ \frac{1}{3}x^2-2x=0, \] \[ x\left(\frac{x}{3}-2\right)=0. \] Отсюда: \[ x=0 \quad \text{или} \quad x=6. \]

---

2. Область определения

\[ f(x)=\frac{x-4}{x^2-x-6}. \]

На ноль делить нельзя, поэтому: \[ x^2-x-6\ne0. \] Разложим: \[ x^2-x-6=(x-3)(x+2). \] Значит: \[ x\ne3,\qquad x\ne-2. \]

Ответ: \[ (-\infty;-2)\cup(-2;3)\cup(3;+\infty). \]

---

3. Функция \(f(x)=x^2-4x+3\)

Выделим полный квадрат: \[ x^2-4x+3=(x-2)^2-1. \]

Ветви параболы направлены вверх, вершина: \[ (2;-1). \]

Нули: \[ x^2-4x+3=0, \] \[ x_1=1,\qquad x_2=3. \]

Точки для построения:

\(x\)	0	1	2	3	4
\(f(x)\)	3	0	\(-1\)	0	3

1. Область значений: \[ [-1;+\infty). \]

2. Функция убывает левее вершины: \[ x\le2. \]

3. Неравенство \(f(x)>0\): график выше оси \(Ox\) вне корней: \[ x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty). \]

---

4. Графики корней

1) \[ f(x)=\sqrt{x}+1. \] Это график \(y=\sqrt{x}\), сдвинутый вверх на 1.

• Область определения: \(x\ge0\).
• Область значений: \(y\ge1\).
• Точки: \((0;1)\), \((1;2)\), \((4;3)\), \((9;4)\).

2) \[ f(x)=\sqrt{x+1}. \] Это график \(y=\sqrt{x}\), сдвинутый влево на 1.

• Область определения: \(x\ge-1\).
• Область значений: \(y\ge0\).
• Точки: \((-1;0)\), \((0;1)\), \((3;2)\), \((8;3)\).

Оба графика — плавные кривые, начинающиеся в указанных точках и идущие вправо вверх.

---

5. Область определения

\[ f(x)=\sqrt{x-2}+\frac{7}{x^2-16}. \]

Нужны два условия: \[ x-2\ge0, \] \[ x^2-16\ne0. \]

То есть: \[ x\ge2, \] \[ x\ne4,\quad x\ne-4. \]

Так как \(x=-4\) уже не подходит из-за \(x\ge2\), остаётся исключить только \(x=4\): \[ [2;4)\cup(4;+\infty). \]

---

6. Вершина параболы

Дана парабола: \[ y=2x^2+bx+c, \] её вершина находится в точке \(A(-3;-2)\).

Абсцисса вершины: \[ x_0=-\frac{b}{2a}. \] Здесь \(a=2\), поэтому: \[ -3=-\frac{b}{4}. \] Отсюда: \[ b=12. \]

Теперь подставим точку \(A(-3;-2)\) в уравнение: \[ -2=2\cdot(-3)^2+12\cdot(-3)+c. \] \[ -2=18-36+c. \] \[ -2=-18+c, \] \[ c=16. \]

Проверка: \[ y=2x^2+12x+16=2(x+3)^2-2, \] вершина действительно \((-3;-2)\).

Ответ: \(b=12,\ c=16\).