5) y = (x − 1)⁻³
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
\(y=(x-1)^{-3}\) • область определения функции: ___; • область значений функции: ___; • промежутки возрастания функции: ___; • промежутки убывания функции: ___; • наибольшее значение функции: ___; • наименьшее значение функции: ___; • ограниченность функции: ___; • дополнительные точки: | \(x\) | ___ | ___ | ___ | ___ | | \(y\) | ___ | ___ | ___ | ___ | [Рисунок: пустая координатная сетка; оси \(x\) и \(y\), отмечены 0 и 1.]
\(y=(x-2)^{\frac{1}{6}}\) • область определения функции: ___; • область значений функции: ___; • промежутки возрастания функции: ___; • промежутки убывания функции: ___; • наибольшее значение функции: ___; • наименьшее значение функции: ___; • ограниченность функции: ___; • дополнительные точки: | \(x\) | ___ | ___ | ___ | ___ | | \(y\) | ___ | ___ | ___ | ___ | [Рисунок: пустая координатная сетка; оси \(x\) и \(y\), отмечены 0 и 1.]
\(y=(x+2)^{\frac{1}{3}}\) • область определения функции: ___; • область значений функции: ___; • промежутки возрастания функции: ___; • промежутки убывания функции: ___; • наибольшее значение функции: ___; • наименьшее значение функции: ___; • ограниченность функции: ___; • дополнительные точки: | \(x\) | ___ | ___ | ___ | ___ | | \(y\) | ___ | ___ | ___ | ___ | [Рисунок: пустая координатная сетка; оси \(x\) и \(y\), отмечены 0 и 1.]
\(y=x^{\frac{5}{3}}-2\) • область определения функции: ___; • область значений функции: ___; • промежутки возрастания функции: ___; • промежутки убывания функции: ___; • наибольшее значение функции: ___; • наименьшее значение функции: ___; • ограниченность функции: ___; • дополнительные точки: | \(x\) | ___ | ___ | ___ | ___ | | \(y\) | ___ | ___ | ___ | ___ | [Рисунок: пустая координатная сетка; оси \(x\) и \(y\), отмечены 0 и 1.]
На фото — задания 5–8. Ниже решения для всех четырёх.
5) \(y=(x-1)^{-3}\)
- \(D(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty)\);
- \(E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\);
- возрастает: нет; убывает на \((-\infty;1)\) и отдельно на \((1;+\infty)\) — объединять эти промежутки нельзя;
- наибольшего и наименьшего значений нет;
- функция не ограничена ни сверху, ни снизу;
- дополнительные точки: \((-1;-\frac18)\), \((0;-1)\), \((2;1)\), \((3;\frac18)\);
- график — две ветви; \(x=1\) — вертикальная асимптота, \(y=0\) — горизонтальная.
6) \(y=(x-2)^{\frac16}=\sqrt[6]{x-2}\)
- \(D(y)=[2;+\infty)\);
- \(E(y)=[0;+\infty)\);
- возрастает на \([2;+\infty)\); убывания нет;
- наибольшего значения нет; наименьшее значение \(0\) при \(x=2\);
- ограничена снизу, сверху не ограничена;
- дополнительные точки: \((2;0)\), \((3;1)\), \((4;\sqrt[6]{2}\approx1{,}12)\), \((5;\sqrt[6]{3}\approx1{,}20)\);
- график начинается в точке \((2;0)\) и идёт вправо вверх.
7) \(y=(x+2)^{\frac13}=\sqrt[3]{x+2}\)
- \(D(y)=\mathbb R\);
- \(E(y)=\mathbb R\);
- возрастает на всём \(\mathbb R\); убывания нет;
- наибольшего и наименьшего значений нет;
- функция не ограничена;
- дополнительные точки: \((-3;-1)\), \((-2;0)\), \((-1;1)\), \((0;\sqrt[3]{2}\approx1{,}26)\);
- график получается сдвигом \(y=\sqrt[3]{x}\) влево на 2.
8) \(y=x^{\frac53}-2=\sqrt[3]{x^5}-2\)
- \(D(y)=\mathbb R\), так как знаменатель показателя 3 нечётный;
- \(E(y)=\mathbb R\);
- возрастает на всём \(\mathbb R\); убывания нет;
- наибольшего и наименьшего значений нет;
- функция не ограничена;
- дополнительные точки: \((-1;-3)\), \((0;-2)\), \((1;-1)\), \((2;2^{5/3}-2\approx1{,}17)\);
- график сдвинут вниз на 2; точка перегиба \((0;-2)\), нуль функции примерно \(x=2^{3/5}\approx1{,}52\).
Как рассуждать
- Сначала определяем \(D(y)\): для чётного корня подкоренное выражение неотрицательно; для нечётного корня ограничений нет; в отрицательной степени знаменатель не равен нулю.
- Область значений: чётный корень даёт \([0;+\infty)\), нечётный корень — всё \(\mathbb R\), а выражение \(\frac1{(x-1)^3}\) не принимает значения 0.
- Монотонность проверяем по знаку производной: \[ \left((x-1)^{-3}\right)'=-\frac{3}{(x-1)^4}<0,\qquad \left((x-2)^{1/6}\right)'=\frac16(x-2)^{-5/6}>0, \] \[ \left((x+2)^{1/3}\right)'=\frac13(x+2)^{-2/3}>0,\qquad \left(x^{5/3}-2\right)'=\frac53x^{2/3}\ge0. \] В последнем случае производная равна нулю только в одной точке \(x=0\), поэтому функция всё равно строго возрастает.
- Если график сдвигается: \(x-a\) — вправо на \(a\), \(x+a\) — влево на \(a\), а число в конце формулы — вверх или вниз.
Проверка: точки из таблиц подставляются в формулы, а знаки производных согласуются с указанными промежутками монотонности.
Обсуждение
2 сообщенияСделай график С таблицей x y
Для каждого номера — отдельная таблица точек. Отмечайте точки на координатной плоскости и соединяйте плавной линией.
5) \(y=(x-1)^{-3}\)
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| \(-2\) | \(-\frac{1}{27}\approx -0{,}037\) |
| \(-1\) | \(-\frac{1}{8}=-0{,}125\) |
| \(0\) | \(-1\) |
| \(0{,}5\) | \(-8\) |
| \(1{,}5\) | \(8\) |
| \(2\) | \(1\) |
| \(3\) | \(\frac{1}{8}=0{,}125\) |
| \(4\) | \(\frac{1}{27}\approx 0{,}037\) |
На графике: \(x=1\) — вертикальная асимптота, \(y=0\) — горизонтальная. Две ветви: левее \(x=1\) график ниже оси \(Ox\), правее — выше.
6) \(y=(x-2)^{\frac16}=\sqrt[6]{x-2}\)
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| \(2\) | \(0\) |
| \(2{,}1\) | \(\approx 0{,}681\) |
| \(2{,}5\) | \(\approx 0{,}891\) |
| \(3\) | \(1\) |
| \(4\) | \(\approx 1{,}122\) |
| \(6\) | \(\approx 1{,}260\) |
| \(10\) | \(\approx 1{,}414\) |
На графике: начинается в точке \((2;0)\), левее \(x=2\) графика нет. Кривая плавно идёт вправо вверх.
7) \(y=(x+2)^{\frac13}=\sqrt[3]{x+2}\)
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| \(-10\) | \(-2\) |
| \(-3\) | \(-1\) |
| \(-2\) | \(0\) |
| \(-1\) | \(1\) |
| \(0\) | \(\approx 1{,}260\) |
| \(1\) | \(\approx 1{,}442\) |
| \(2\) | \(\approx 1{,}587\) |
| \(3\) | \(\approx 1{,}710\) |
| \(6\) | \(2\) |
| \(10\) | \(\approx 2{,}289\) |
На графике: проходит через \((-2;0)\), это график \(y=\sqrt[3]{x}\), сдвинутый влево на 2.
8) \(y=x^{\frac53}-2\)
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| \(-3\) | \(\approx -8{,}240\) |
| \(-2\) | \(\approx -5{,}175\) |
| \(-1\) | \(-3\) |
| \(0\) | \(-2\) |
| \(1\) | \(-1\) |
| \(1{,}5\) | \(\approx -0{,}034\) |
| \(2\) | \(\approx 1{,}175\) |
| \(3\) | \(\approx 4{,}240\) |
| \(4\) | \(\approx 8{,}079\) |
На графике: ключевая точка \((0;-2)\), через неё проходит график с горизонтальной касательной. Нуль функции: \(x=2^{0{,}6}\approx 1{,}52\).
Масштаб: для №5 удобно взять по \(y\) одну клетку за 2 единицы, иначе точки \(\pm 8\) не поместятся. Для №6 — по \(x\) одна клетка за 1, по \(y\) одна клетка за \(0{,}25\). Для №7 — обычный масштаб 1 клетка \(=1\). Для №8 — по \(y\) одну клетку за 2 единицы.
