Вариант 1

Я не вижу самого изображения — условия задач в чат не пришли. Пришли, пожалуйста, фото ещё раз (или набери текстом условия задач 1–6 обоих вариантов), и я оформлю каждую задачу с «Дано» и полным решением.

Вижу только вариант 1 — вариант 2 обрезан (видно лишь заголовок). Решаю вариант 1; условия варианта 2 пришли отдельным фото.

Вариант 1

1. Отрезок

Дано: \(C \in BD\), \(BD = 10{,}3\) см, \(CD = 7{,}8\) см. Найти: \(BC\).

Решение. Точка \(C\) лежит на отрезке \(BD\), значит \[ BC = BD - CD = 10{,}3 - 7{,}8 = 2{,}5\ \text{см.} \] Ответ: 2,5 см.

2. Углы при пересечении прямых

Дано: две прямые пересекаются, один из четырёх углов \(= 94^\circ\). Найти: остальные углы.

Решение. Вертикальный угол равен данному: \(94^\circ\). Смежные с ним: \[ 180^\circ - 94^\circ = 86^\circ. \] Ответ: \(94^\circ,\ 86^\circ,\ 86^\circ\).

3. Смежные углы

Дано: углы смежные, один на \(48^\circ\) меньше другого. Найти: эти углы.

Решение. Пусть меньший угол \(x\), тогда больший \(x+48^\circ\), а их сумма \(180^\circ\): \[ x + (x + 48^\circ) = 180^\circ \Rightarrow 2x = 132^\circ \Rightarrow x = 66^\circ. \] Ответ: \(66^\circ\) и \(114^\circ\).

4. Доказательство (рис. 38)

Дано: \(\angle AKB = \angle DKC\); \(KE\) — биссектриса \(\angle AKD\). Доказать: \(\angle BKE = \angle CKE\).

Доказательство.

1. \(KE\) — биссектриса \(\angle AKD\), значит \(\angle AKE = \angle EKD\).
2. Луч \(KB\) лежит внутри \(\angle AKE\), поэтому \[ \angle BKE = \angle AKE - \angle AKB. \]
3. Луч \(KC\) лежит внутри \(\angle EKD\), поэтому \[ \angle CKE = \angle EKD - \angle CKD. \]
4. По условию \(\angle AKB = \angle CKD\), а по п. 1 \(\angle AKE = \angle EKD\). Вычитая равные величины из равных, получаем \[ \angle BKE = \angle CKE. \] Что и требовалось доказать.

5. Биссектриса и дополнительный луч

Дано: угол \(136^\circ\), биссектриса; луч, дополнительный к стороне угла. Найти: угол между биссектрисой и этим лучом.

Решение. Биссектриса делит угол пополам: \[ 136^\circ : 2 = 68^\circ. \] Дополнительный луч со стороной образует развёрнутый угол \(180^\circ\), поэтому искомый угол \[ 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ. \] Ответ: \(112^\circ\).

6. Точки на прямой

Дано: \(A, B, C\) на одной прямой, \(BC = 48\) см, \(AB\) в 7 раз меньше \(AC\). Найти: \(AB\).

Решение. Точка \(B\) лежит между \(A\) и \(C\) (иначе \(AB > AC\), что невозможно). Пусть \(AB = x\), тогда \(AC = 7x\), при этом \(AC = AB + BC\): \[ 7x = x + 48 \Rightarrow 6x = 48 \Rightarrow x = 8. \] Ответ: 8 см.

Примечание: формально возможен и случай, когда между \(B\) и \(C\) лежит \(A\): тогда \(BC = AB + AC = 8x = 48\), \(AB = 6\) см. В школьном курсе обычно берут первый вариант — 8 см.

Пришли фото варианта 2 — оформлю так же, с «Дано» и решением.

Вариант 2

1. Луч внутри угла

Дано: \(\angle AOB = 84^\circ\), луч \(OM\) проходит между сторонами угла, \(\angle AOM = 35^\circ\).
Найти: \(\angle BOM\).

Решение. Так как луч \(OM\) делит угол \(AOB\) на два угла, то \[ \angle BOM = \angle AOB - \angle AOM = 84^\circ - 35^\circ = 49^\circ. \]

Ответ: \(49^\circ\).

---

2. Углы при пересечении прямых

Дано: при пересечении двух прямых один из углов равен \(118^\circ\).
Найти: остальные углы.

Решение. Вертикальный угол тоже равен \(118^\circ\). Смежный с ним: \[ 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ. \] Значит, два других угла равны по \(62^\circ\).

Ответ: \(118^\circ,\ 62^\circ,\ 62^\circ\).

---

3. Смежные углы

Дано: два смежных угла, один на \(34^\circ\) больше другого.
Найти: эти углы.

Решение. Пусть меньший угол равен \(x\), тогда больший равен \(x+34^\circ\). Сумма смежных углов равна \(180^\circ\): \[ x + (x+34^\circ) = 180^\circ, \] \[ 2x = 146^\circ,\qquad x = 73^\circ. \] Тогда больший угол: \[ 73^\circ + 34^\circ = 107^\circ. \]

Ответ: \(73^\circ\) и \(107^\circ\).

---

4. Доказательство по рисунку 39

Дано: \(AO = BO\), точка \(O\) — середина отрезка \(CD\).
Доказать: \(AC = BD\).

Доказательство.

1. Так как \(O\) — середина \(CD\), то \[ CO = OD. \]
2. По условию \[ AO = BO. \]
3. По рисунку точки расположены в порядке \(A,\ C,\ O,\ D,\ B\), поэтому \[ AC = AO - CO,\qquad BD = BO - OD. \]
4. Вычитаем из равных отрезков \(AO = BO\) равные отрезки \(CO = OD\): \[ AO - CO = BO - OD. \] Следовательно, \[ AC = BD. \]

Что и требовалось доказать.

---

5. Биссектриса и дополнительный луч

Дано: угол между биссектрисой угла и лучом, дополнительным к одной из его сторон, равен \(134^\circ\).
Найти: данный угол.

Решение. Пусть искомый угол равен \(x\). Биссектриса делит его пополам, поэтому угол между биссектрисой и стороной угла равен \(\frac{x}{2}\).

Дополнительный луч образует со стороной развёрнутый угол \(180^\circ\), значит: \[ 180^\circ - \frac{x}{2} = 134^\circ. \] Отсюда \[ \frac{x}{2} = 46^\circ,\qquad x = 92^\circ. \]

Ответ: \(92^\circ\).

---

6. Углы с общим лучом

Дано: \(\angle ABC = 36^\circ\), \(\angle CBD\) в 3 раза больше \(\angle ABD\).
Найти: \(\angle ABD\).

Решение. Луч \(BD\) проходит внутри угла \(ABC\), поэтому \[ \angle ABD + \angle CBD = \angle ABC = 36^\circ. \] Пусть \(\angle ABD = x\), тогда \(\angle CBD = 3x\). Получаем: \[ x + 3x = 36^\circ, \] \[ 4x = 36^\circ,\qquad x = 9^\circ. \]

Ответ: \(\angle ABD = 9^\circ\).

Вижу вариант 3 полностью; вариант 4 обрезан — видно только начало задачи 1. Решаю вариант 3.

Вариант 3

1. Точка на отрезке

Дано: \(F \in AB\), \(FB = 5{,}4\) см, \(AB = 8{,}3\) см. Найти: \(AF\).

Решение. Точка \(F\) лежит на отрезке \(AB\), значит \[ AF = AB - FB = 8{,}3 - 5{,}4 = 2{,}9\ \text{см.} \] Ответ: 2,9 см.

---

2. Углы при пересечении двух прямых

Дано: один из четырёх углов при пересечении прямых равен \(53^\circ\). Найти: остальные углы.

Решение. Вертикальный ему угол тоже \(53^\circ\). Смежные с ним: \[ 180^\circ - 53^\circ = 127^\circ. \] Ответ: \(53^\circ,\ 127^\circ,\ 127^\circ\).

---

3. Смежные углы

Дано: один из смежных углов в 2 раза больше другого. Найти: эти углы.

Решение. Пусть меньший угол \(x\), тогда больший \(2x\); их сумма \(180^\circ\): \[ x + 2x = 180^\circ \Rightarrow 3x = 180^\circ \Rightarrow x = 60^\circ,\quad 2x = 120^\circ. \] Ответ: \(60^\circ\) и \(120^\circ\).

---

4. Доказательство по рисунку 40

Дано: лучи \(OA, OB, OC, OD, OF\) выходят из точки \(O\) в указанном порядке; \(\angle AOC = \angle FOC\), \(\angle BOC = \angle DOC\). Доказать: \(\angle AOB = \angle FOD\).

Доказательство.

1. Луч \(OB\) проходит внутри \(\angle AOC\), поэтому \[ \angle AOB = \angle AOC - \angle BOC. \]
2. Луч \(OD\) проходит внутри \(\angle FOC\), поэтому \[ \angle FOD = \angle FOC - \angle DOC. \]
3. По условию \(\angle AOC = \angle FOC\) и \(\angle BOC = \angle DOC\). Вычитая из равных углов равные, получаем \[ \angle AOC - \angle BOC = \angle FOC - \angle DOC, \] то есть \(\angle AOB = \angle FOD\).

Что и требовалось доказать.

---

5. Биссектриса и дополнительный луч

Дано: угол \(94^\circ\), проведена его биссектриса; взят луч, дополнительный к одной стороне угла. Найти: угол между биссектрисой и этим лучом.

Решение. Биссектриса делит угол пополам: \[ 94^\circ : 2 = 47^\circ. \] С дополнительным лучом сторона угла образует развёрнутый угол \(180^\circ\), поэтому \[ 180^\circ - 47^\circ = 133^\circ. \] Ответ: \(133^\circ\).

---

6. Точки на одной прямой

Дано: \(M, K, P\) лежат на одной прямой, \(MK = 35\) см, \(MP\) в 6 раз больше \(KP\). Найти: \(KP\).

Решение. Обозначим \(KP = x\), тогда \(MP = 6x\).

Случай 1: точка \(K\) лежит между \(M\) и \(P\). Тогда \[ MP = MK + KP \Rightarrow 6x = 35 + x \Rightarrow 5x = 35 \Rightarrow x = 7. \]

Случай 2: точка \(P\) лежит между \(M\) и \(K\). Тогда \[ MK = MP + PK \Rightarrow 6x + x = 35 \Rightarrow 7x = 35 \Rightarrow x = 5. \]

(Случай, когда \(M\) между \(K\) и \(P\), невозможен: \(KP = 35 + 6KP\) не имеет решения.)

Ответ: 7 см (основной случай); формально возможен и второй вариант — 5 см.

---

Вариант 4 обрезан: у задачи 1 видно только «\(\angle MKN = 128^\circ\), \(\angle NKF = 37^\circ\). Найдите…». Пришли фото варианта 4 целиком — оформлю так же, с «Дано» и решением.