1. Средняя линия равнобедренного треугольника ABC, параллельна основанию и равна 3 см. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 16 см.

Разберу все четыре задачи полностью — с дано, решением и проверкой.

Задача 1

Дано: равнобедренный треугольник \(ABC\), где \(AC\) — основание, \(AB=BC\). Средняя линия, параллельная основанию, равна \(3\) см. Периметр треугольника равен \(16\) см.

Найти: все стороны треугольника.

Решение:

Средняя линия треугольника параллельна стороне и равна её половине. Поэтому

\[ MN=\frac{AC}{2}. \]

Так как \(MN=3\) см, то

\[ 3=\frac{AC}{2}\quad\Rightarrow\quad AC=6\text{ см}. \]

Треугольник равнобедренный, значит, боковые стороны равны:

\[ AB=BC=x. \]

Периметр:

\[ x+x+6=16. \]

\[ 2x=10\quad\Rightarrow\quad x=5. \]

Значит, боковые стороны равны \(5\) см, а основание — \(6\) см.

Ответ: \(5\) см, \(5\) см, \(6\) см.

Проверка:

\[ 5+5+6=16, \]

а средняя линия, параллельная основанию:

\[ \frac{6}{2}=3\text{ см}. \]

---

Задача 2

Дано: треугольник образован средними линиями, его стороны равны \(2\) см, \(3\) см и \(4\) см.

Найти: периметр исходного большого треугольника.

Решение:

Каждая средняя линия треугольника равна половине той стороны, которой она параллельна. Значит, каждая сторона исходного треугольника в \(2\) раза больше соответствующей средней линии.

Поэтому стороны исходного треугольника:

\[ 2\cdot2=4\text{ см}, \]

\[ 2\cdot3=6\text{ см}, \]

\[ 2\cdot4=8\text{ см}. \]

Периметр:

\[ P=4+6+8=18\text{ см}. \]

Ответ: \(18\) см.

Проверка:

Средние линии исходного треугольника:

\[ \frac{4}{2}=2,\qquad \frac{6}{2}=3,\qquad \frac{8}{2}=4. \]

Всё совпадает.

---

Задача 3

Дано: трапеция, её основания равны \(8\) см и \(14\) см.

Найти: среднюю линию трапеции.

Решение:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

\[ m=\frac{a+b}{2}. \]

Подставляем:

\[ m=\frac{8+14}{2}=\frac{22}{2}=11\text{ см}. \]

Ответ: \(11\) см.

Проверка:

\[ 11\cdot2=22, \]

а сумма оснований:

\[ 8+14=22. \]

Значит, всё верно.

---

Задача 4

Дано: средняя линия трапеции равна \(7\) см, одно основание равно \(5\) см.

Найти: второе основание.

Решение:

Пусть второе основание равно \(x\). Средняя линия трапеции:

\[ m=\frac{a+b}{2}. \]

Подставляем известные значения:

\[ 7=\frac{5+x}{2}. \]

Умножаем обе части на \(2\):

\[ 14=5+x. \]

Отсюда:

\[ x=14-5=9\text{ см}. \]

Ответ: \(9\) см.

Проверка:

\[ \frac{5+9}{2}=\frac{14}{2}=7\text{ см}. \]

Всё сходится.

---

Общий вывод:
В задачах 1 и 2 используется свойство средней линии треугольника: она равна половине соответствующей стороны.
В задачах 3 и 4 используется формула средней линии трапеции:

\[ m=\frac{a+b}{2}. \]

Рисунки дам схематично — масштаб не соблюдён, важны только обозначения. Внутри схем формулы не пишу, все подписи — под рисунком.

Задача 1. Равнобедренный треугольник и средняя линия

          B
         / \
        /   \
     M /-----\ N      MN || AC
      /       \
     /         \
    A-----------C

Что отмечено:

• \(AB=BC\) — боковые стороны, по \(5\) см;
• \(AC\) — основание, \(6\) см;
• \(M\) — середина \(AB\), \(N\) — середина \(BC\);
• \(MN\) — средняя линия, \(3\) см, проведена параллельно основанию \(AC\).

Проверка по рисунку: \(MN\) соединяет середины боковых сторон, поэтому она параллельна основанию и вдвое короче его: \(6:2=3\).

---

Задача 2. Треугольник из средних линий

          A
         / \
        /   \
       K-----N        K — середина AB
      / \   / \       N — середина AC
     /   \ /   \
    B-----M-----C     M — середина BC

Что отмечено:

• большой треугольник \(ABC\) — исходный, его стороны \(4\), \(6\), \(8\) см;
• \(K\), \(M\), \(N\) — середины сторон \(AB\), \(BC\), \(AC\);
• маленький треугольник \(KMN\) — как раз тот, что образован средними линиями, его стороны \(2\), \(3\), \(4\) см.

Проверка по рисунку: каждая сторона маленького треугольника вдвое меньше параллельной ей стороны большого: \[ KN=\frac{BC}{2},\qquad NM=\frac{AB}{2},\qquad MK=\frac{AC}{2}. \]

---

Задача 3. Средняя линия трапеции

     B-------------C
    /   M-------N   \      BC = 8 см
   /                 \     AD = 14 см
  A-------------------D    MN — средняя линия

Что отмечено:

• \(BC\) — верхнее основание, \(8\) см;
• \(AD\) — нижнее основание, \(14\) см;
• \(M\) — середина \(AB\), \(N\) — середина \(CD\);
• \(MN\) — средняя линия, она параллельна обоим основаниям.

Проверка по рисунку: \(MN\) лежит ровно посередине между основаниями, а её длина — среднее арифметическое: \[ MN=\frac{8+14}{2}=11\text{ см}. \]

---

Задача 4. Неизвестное основание

     B-------C            BC = 5 см
    /  M---N  \           AD = x
   /           \          MN = 7 см
  A-------------D

Что отмечено:

• \(BC=5\) см — известное основание;
• \(AD=x\) — то, что ищем;
• \(MN=7\) см — средняя линия.

Проверка по рисунку: средняя линия должна быть ровно посередине между основаниями, поэтому \[ \frac{5+9}{2}=7, \] то есть \(AD=9\) см.

---

Если нужно, могу перерисовать любую из схем крупнее или с другими буквенными обозначениями — как в твоём учебнике.