Найдите длину отрезка, соеди-няющего середины диагоналей тра-пеции, если её основания равны а и в. (» рис.)

Question

Расшифровка фото нейросетью:
[Рисунок: трапеция; верхнее основание подписано $a$, нижнее — $b$. Проведены обе диагонали; их середины отмечены точками и соединены красным отрезком, под ним подпись $x$.]
►► задача 9

Answer

Краткий ответ. На рисунке $b>a$, поэтому

$$
x=\frac{b-a}{2}.
$$

В общем случае, если неизвестно, какое основание больше,

$$
x=\frac{|a-b|}{2}.
$$

Почему так. Пусть в трапеции $ABCD$ основания $AD=b$, $BC=a$, $AD\parallel BC$. Точки $M$ и $N$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$. Возьмём $P$ — середину боковой стороны $AB$.

В треугольнике $ABC$ отрезок $PM$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$, значит, это средняя линия:
$$
PM\parallel BC,\qquad PM=\frac a2.
$$

В треугольнике $ABD$ отрезок $PN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BD$, значит:
$$
PN\parallel AD,\qquad PN=\frac b2.
$$

Так как $AD\parallel BC$, через точку $P$ проходит одна прямая, параллельная основаниям. Поэтому $P,M,N$ лежат на одной прямой. При $b>a$ точка $M$ находится между $P$ и $N$, следовательно,

$$
MN=PN-PM=\frac b2-\frac a2=\frac{b-a}{2}.
$$

Проверка. Если $a=4$, $b=10$, то $x=(10-4)/2=3$. Если $a=b$, то трапеция становится параллелограммом, середины диагоналей совпадают, и $x=0$, что также соответствует формуле.