Рассмотри изображение вместе с последним сообщением и историей диалога. Сначала определи, это продолжение текущей учебной цели или самостоятельное новое задание.

Хорошо, начинаем новую задачу. Пришлите её условие — текстом или фотографией, — и укажите предмет и класс, чтобы я объяснил решение по делу.

Спасибо, условие видно — это задания 334 и 335 на метод интервалов (задание 336 в кадр не попало). Разбираю все восемь неравенств.

Как устроен метод (на примере 334 а). Для дроби \(\frac{P(x)}{Q(x)} \lessgtr 0\) находим нули числителя и нули знаменателя. Нули знаменателя всегда выкалываются (на них дробь не существует). Наносим точки на ось, в каждом промежутке определяем знак дроби и выбираем те, где знак подходит.

334

а) \(\frac{x-5}{x+6}<0\)

Нули: \(x=5\) (числитель), \(x=-6\) (знаменатель, выколота). При \(x<-6\) дробь положительна, при \(-6<x<5\) отрицательна, при \(x>5\) положительна. Ответ: \((-6;\,5)\).

б) \(\frac{1{,}4-x}{x+3{,}8}<0\)

Нули: \(x=1{,}4\) и \(x=-3{,}8\) (выколота). Дробь отрицательна слева от \(-3{,}8\) и справа от \(1{,}4\). Ответ: \((-\infty;\,-3{,}8)\cup(1{,}4;\,+\infty)\).

в) \(\frac{2x}{x-1{,}6}>0\)

Нули: \(x=0\) и \(x=1{,}6\) (выколота). Ответ: \((-\infty;\,0)\cup(1{,}6;\,+\infty)\).

г) \(\frac{5x-1{,}5}{x-4}>0\)

Нуль числителя: \(5x=1{,}5\), то есть \(x=0{,}3\); нуль знаменателя \(x=4\) выколот. Ответ: \((-\infty;\,0{,}3)\cup(4;\,+\infty)\).

335

а) \(\frac{x-21}{x+7}<0\)

Нули: \(x=21\) и \(x=-7\) (выколота). Ответ: \((-7;\,21)\). Если в числителе на самом деле \(2{,}1\), то ответ \((-7;\,2{,}1)\) — расположение промежутков такое же.

б) \(\frac{x+4{,}7}{x-7{,}2}>0\)

Нули: \(x=-4{,}7\) и \(x=7{,}2\) (выколота). Ответ: \((-\infty;\,-4{,}7)\cup(7{,}2;\,+\infty)\).

в) \(\frac{6x+1}{3+x}>0\)

Нуль числителя: \(x=-\frac{1}{6}\); нуль знаменателя \(x=-3\) выколот. Дробь положительна при \(x<-3\) и при \(x>-\frac{1}{6}\). Ответ: \((-\infty;\,-3)\cup\left(-\frac{1}{6};\,+\infty\right)\).

г) \(\frac{5x}{4x-12}<0\)

Нули: \(x=0\) и \(x=3\) (выколота). Между ними дробь отрицательна. Ответ: \((0;\,3)\).

Проверка: подставьте в каждое неравенство по одной точке из ответа и по одной из «соседнего» промежутка — знак должен совпасть с нужным. Например, в 335 г при \(x=1\): \(\frac{5}{4-12}<0\) — верно.

Если нужно, пришлите задание 336 — решу его так же.

Давай разберём медленно, на одном примере, — а остальные ты потом сделаешь сам по этому образцу.

Главная идея

Дробь \(\dfrac{\text{числитель}}{\text{знаменатель}}\) может менять знак только там, где числитель равен нулю или знаменатель равен нулю. Между такими точками знак не меняется. Значит, всю числовую прямую можно разбить на куски и в каждом куске проверить знак одной-единственной точкой.

Пример: \(\dfrac{x-5}{x+6}<0\)

Шаг 1. Где числитель равен нулю? \(x-5=0 \Rightarrow x=5\). В этой точке дробь равна нулю.

Шаг 2. Где знаменатель равен нулю? \(x+6=0 \Rightarrow x=-6\). Здесь дроби нет вообще (на ноль делить нельзя), поэтому эту точку всегда выкалываем — она никогда не попадёт в ответ.

Шаг 3. Две точки делят прямую на три куска: \[ (-\infty;-6),\quad (-6;5),\quad (5;+\infty) \]

Шаг 4. В каждом куске берём удобную пробную точку и считаем знак дроби.

кусок	пробная точка	числитель \(x-5\)	знаменатель \(x+6\)	дробь
\((-\infty;-6)\)	\(x=-10\)	\(-15\) (минус)	\(-4\) (минус)	\(+\)
\((-6;5)\)	\(x=0\)	\(-5\) (минус)	\(6\) (плюс)	\(-\)
\((5;+\infty)\)	\(x=10\)	\(5\) (плюс)	\(16\) (плюс)	\(+\)

Шаг 5. Нам нужно \(<0\), то есть минус. Минус только на среднем куске.

Ответ: \((-6;\,5)\).

Полезное сокращение

Если все скобки в первой степени (как здесь), знаки чередуются: \(+,-,+\). Достаточно один раз посчитать знак на самом правом куске — а дальше просто чередовать. Это экономит время на контрольной.

Два правила, которые нельзя путать

• Нуль числителя — сама точка существует, поэтому при знаке \(\le\) или \(\ge\) она входит в ответ (круглая скобка ставится только из-за строгого неравенства).
• Нуль знаменателя — точки не существует, она выкалывается всегда, даже при \(\le\) и \(\ge\).

Скажи, какой именно шаг пока непонятен — как искать нули или как определять знак? Или давай сделаем вместе 334 б, а дальше ты сам.

Понял: решаю в твоём оформлении — дробь заменяем произведением (это законно: умножили обе части на квадрат знаменателя, он положителен, знак неравенства не меняется), отмечаем нули, расставляем знаки, выписываем ответ. Все неравенства строгие, поэтому на концах — выколотые точки и круглые скобки.

334

в) \(\dfrac{2x}{x-1{,}6}>0\), \(x\neq1{,}6\)

\[ 2x(x-1{,}6)>0 \iff x(x-1{,}6)>0 \]

Нули: \(0\) и \(1{,}6\). Парабола ветвями вверх, \(>0\) — снаружи.

Знаки: \(+\) на \((-\infty;0)\), \(-\) на \((0;1{,}6)\), \(+\) на \((1{,}6;+\infty)\)

Ответ: \((-\infty;\,0)\cup(1{,}6;\,+\infty)\)

г) \(\dfrac{5x-1{,}5}{x-4}>0\), \(x\neq4\)

\[ (5x-1{,}5)(x-4)>0 \iff 5(x-0{,}3)(x-4)>0 \iff (x-0{,}3)(x-4)>0 \]

Нули: \(0{,}3\) и \(4\). Знаки: \(+,\;-,\;+\), берём «плюсы».

Ответ: \((-\infty;\,0{,}3)\cup(4;\,+\infty)\)

335

а) \(\dfrac{x-21}{x+7}<0\), \(x\neq-7\)

\[ (x-21)(x+7)<0 \]

Нули: \(-7\) и \(21\). Между корнями знак минус.

Ответ: \((-7;\,21)\)

Если в числителе на самом деле \(2{,}1\), то \((x-2{,}1)(x+7)<0\) и ответ \((-7;\,2{,}1)\).

б) \(\dfrac{x+4{,}7}{x-7{,}2}>0\), \(x\neq7{,}2\)

\[ (x+4{,}7)(x-7{,}2)>0 \]

Нули: \(-4{,}7\) и \(7{,}2\). Берём «плюсы» снаружи.

Ответ: \((-\infty;\,-4{,}7)\cup(7{,}2;\,+\infty)\)

в) \(\dfrac{6x+1}{3+x}>0\), \(x\neq-3\)

\[ (6x+1)(x+3)>0 \iff 6\left(x+\tfrac{1}{6}\right)(x+3)>0 \iff \left(x+\tfrac{1}{6}\right)(x+3)>0 \]

Нули: \(-3\) и \(-\frac{1}{6}\). Знаки: \(+,\;-,\;+\).

Ответ: \((-\infty;\,-3)\cup\left(-\frac{1}{6};\,+\infty\right)\)

г) \(\dfrac{5x}{4x-12}<0\), \(x\neq3\)

\[ 5x(4x-12)<0 \iff 20x(x-3)<0 \iff x(x-3)<0 \]

Нули: \(0\) и \(3\). Между ними знак минус.

Ответ: \((0;\,3)\)

Одна деталь на будущее. Нуль знаменателя выкалываем всегда. При строгом неравенстве он и так не попадёт в ответ (в произведении там ноль, а нам нужен строгий знак), но при \(\le\) или \(\ge\) его обязательно надо исключать отдельно: например, \(\frac{5x}{4x-12}\le 0\) дало бы \([0;\,3)\), а не \([0;\,3]\).

Хорошо, давай по-простому. Сначала — сам принцип, потом каждый пример по шагам, как в тетради.

Как работает метод интервалов

Дробь — это деление. Её знак зависит от знаков числителя и знаменателя:

• плюс делить на плюс — плюс;
• минус делить на минус — плюс;
• плюс делить на минус — минус.

Дробь может поменять знак только в двух случаях: когда числитель равен нулю (тогда дробь равна нулю) или когда знаменатель равен нулю (тогда дроби вообще нет). Больше меняться знаку негде.

Отсюда порядок действий:

1. Находим нули числителя.
2. Находим нули знаменателя — эти точки всегда выкалываем, на них дроби не существует.
3. Отмечаем все точки на числовой прямой: они делят её на промежутки.
4. На каждом промежутке берём любое число и считаем знак дроби.
5. Выбираем промежутки с нужным знаком.

У нас везде неравенства строгие (\(<0\) или \(>0\)), поэтому все точки выколотые, а скобки в ответе круглые.

334

а) \(\dfrac{x-5}{x+6}<0\)

1. Числитель: \(x-5=0\), значит \(x=5\).
2. Знаменатель: \(x+6=0\), значит \(x=-6\). Выкалываем.
3. Точки \(-6\) и \(5\) делят прямую на три промежутка: \((-\infty;-6)\), \((-6;5)\), \((5;+\infty)\).
4. Считаем знак на каждом:
   • берём \(x=-10\): \(\frac{-10-5}{-10+6}=\frac{-15}{-4}>0\) — плюс;
   • берём \(x=0\): \(\frac{0-5}{0+6}=\frac{-5}{6}<0\) — минус;
   • берём \(x=10\): \(\frac{10-5}{10+6}=\frac{5}{16}>0\) — плюс.
5. Нам нужен минус, то есть промежуток \((-6;5)\).

Ответ: \(x\in(-6;\,5)\).

Проверка: возьмём \(x=0\) из ответа: \(\frac{-5}{6}<0\) — верно.

б) \(\dfrac{1{,}4-x}{x+3{,}8}<0\)

1. Числитель: \(1{,}4-x=0\), значит \(x=1{,}4\).
2. Знаменатель: \(x+3{,}8=0\), значит \(x=-3{,}8\). Выкалываем.
3. Промежутки: \((-\infty;-3{,}8)\), \((-3{,}8;1{,}4)\), \((1{,}4;+\infty)\).
4. Знаки:
   • \(x=-5\): \(\frac{1{,}4-(-5)}{-5+3{,}8}=\frac{6{,}4}{-1{,}2}<0\) — минус;
   • \(x=0\): \(\frac{1{,}4}{3{,}8}>0\) — плюс;
   • \(x=0\): \(\frac{1{,}4-2}{2+3{,}8}=\frac{-0{,}6}{5{,}8}<0\) — минус.
5. Нужен минус: подходят \((-\infty;-3{,}8)\) и \((1{,}4;+\infty)\).

Ответ: \(x\in(-\infty;\,-3{,}8)\cup(1{,}4;\,+\infty)\).

в) \(\dfrac{2x}{x-1{,}6}>0\)

1. Числитель: \(2x=0\), значит \(x=0\).
2. Знаменатель: \(x-1{,}6=0\), значит \(x=1{,}6\). Выкалываем.
3. Промежутки: \((-\infty;0)\), \((0;1{,}6)\), \((1{,}6;+\infty)\).
4. Знаки:
   • \(x=-1\): \(\frac{-2}{-2{,}6}>0\) — плюс;
   • \(x=1\): \(\frac{2}{-0{,}6}<0\) — минус;
   • \(x=2\): \(\frac{4}{0{,}4}>0\) — плюс.
5. Нужен плюс: \((-\infty;0)\) и \((1{,}6;+\infty)\).

Ответ: \(x\in(-\infty;\,0)\cup(1{,}6;\,+\infty)\).

г) \(\dfrac{5x-1{,}5}{x-4}>0\)

1. Числитель: \(5x-1{,}5=0\), значит \(x=0{,}3\).
2. Знаменатель: \(x-4=0\), значит \(x=4\). Выкалываем.
3. Промежутки: \((-\infty;0{,}3)\), \((0{,}3;4)\), \((4;+\infty)\).
4. Знаки:
   • \(x=0\): \(\frac{-1{,}5}{-4}>0\) — плюс;
   • \(x=1\): \(\frac{3{,}5}{-3}<0\) — минус;
   • \(x=5\): \(\frac{23{,}5}{1}>0\) — плюс.
5. Нужен плюс: \((-\infty;0{,}3)\) и \((4;+\infty)\).

Ответ: \(x\in(-\infty;\,0{,}3)\cup(4;\,+\infty)\).

335

а) \(\dfrac{x-21}{x+7}<0\)

1. Нули: \(x=21\) (числитель), \(x=-7\) (знаменатель, выкалываем).
2. Промежутки: \((-\infty;-7)\), \((-7;21)\), \((21;+\infty)\).
3. Знаки:
   • \(x=-10\): \(\frac{-31}{-3}>0\) — плюс;
   • \(x=0\): \(\frac{-21}{7}<0\) — минус;
   • \(x=30\): \(\frac{9}{37}>0\) — плюс.
4. Нужен минус: \((-7;21)\).

Ответ: \(x\in(-7;\,21)\).

Если в учебнике в числителе не \(21\), а \(2{,}1\), то ответ будет \((-7;\,2{,}1)\) — решение точно такое же.

б) \(\dfrac{x+4{,}7}{x-7{,}2}>0\)

1. Нули: \(x=-4{,}7\) (числитель), \(x=7{,}2\) (знаменатель, выкалываем).
2. Промежутки: \((-\infty;-4{,}7)\), \((-4{,}7;7{,}2)\), \((7{,}2;+\infty)\).
3. Знаки:
   • \(x=-5\): \(\frac{-0{,}3}{-12{,}2}>0\) — плюс;
   • \(x=0\): \(\frac{4{,}7}{-7{,}2}<0\) — минус;
   • \(x=8\): \(\frac{12{,}7}{0{,}8}>0\) — плюс.
4. Нужен плюс: крайние промежутки.

Ответ: \(x\in(-\infty;\,-4{,}7)\cup(7{,}2;\,+\infty)\).

в) \(\dfrac{6x+1}{3+x}>0\)

1. Числитель: \(6x+1=0\), значит \(x=-\frac{1}{6}\).
2. Знаменатель: \(3+x=0\), значит \(x=-3\). Выкалываем.
3. Промежутки: \(\left(-\infty;-3\right)\), \(\left(-3;-\frac{1}{6}\right)\), \(\left(-\frac{1}{6};+\infty\right)\).
4. Знаки:
   • \(x=-4\): \(\frac{-23}{-1}>0\) — плюс;
   • \(x=-1\): \(\frac{-5}{2}<0\) — минус;
   • \(x=0\): \(\frac{1}{3}>0\) — плюс.
5. Нужен плюс: \(\left(-\infty;-3\right)\) и \(\left(-\frac{1}{6};+\infty\right)\).

Ответ: \(x\in(-\infty;\,-3)\cup\left(-\frac{1}{6};\,+\infty\right)\).

г) \(\dfrac{5x}{4x-12}<0\)

1. Числитель: \(5x=0\), значит \(x=0\).
2. Знаменатель: \(4x-12=0\), значит \(x=3\). Выкалываем.
3. Промежутки: \((-\infty;0)\), \((0;3)\), \((3;+\infty)\).
4. Знаки:
   • \(x=-1\): \(\frac{-5}{-16}>0\) — плюс;
   • \(x=1\): \(\frac{5}{-8}<0\) — минус;
   • \(x=4\): \(\frac{20}{4}>0\) — плюс.
5. Нужен минус: \((0;3)\).

Ответ: \(x\in(0;\,3)\).

Все ответы для самопроверки

• 334 а) \((-6;\,5)\)
• 334 б) \((-\infty;\,-3{,}8)\cup(1{,}4;\,+\infty)\)
• 334 в) \((-\infty;\,0)\cup(1{,}6;\,+\infty)\)
• 334 г) \((-\infty;\,0{,}3)\cup(4;\,+\infty)\)
• 335 а) \((-7;\,21)\)
• 335 б) \((-\infty;\,-4{,}7)\cup(7{,}2;\,+\infty)\)
• 335 в) \((-\infty;\,-3)\cup\left(-\frac{1}{6};\,+\infty\right)\)
• 335 г) \((0;\,3)\)

Маленькая хитрость: если все скобки в выражении стоят в первой степени, знаки на промежутках просто чередуются. Достаточно один раз посчитать знак на самом правом промежутке и дальше ставить плюс-минус по очереди.

Скажи номер примера, который всё ещё непонятен, — разберу его ещё медленнее, можно с рисунком оси.

Понял, объясню иначе — по одному крошечному шагу, без таблиц и без всех примеров сразу.

Скажи только одно: где именно «застревает»?

1. Не понимаю, откуда берутся нули (почему \(x=5\) и \(x=-6\)).
2. Не понимаю, как определять знак на промежутке.
3. Не понимаю, как из знаков получается ответ.

Напиши номер — и я разберу ровно этот шаг на одном простом числе, без всей теории. Остальные примеры пока отложим.