подготовка к кр по алгебре

Отлично, теперь картина ясная: функции в 9 классе — это три «кита», и все они встречаются в ОГЭ.

Что реально проверяют

1. Линейная функция — читать \(k\) и \(b\), строить, находить формулу по двум точкам.
2. Парабола — вершина, ветви, точки пересечения с осями, чтение свойств по графику.
3. Задание 22 — кусочно-заданная функция (часто с модулем) + вопрос «при каких \(m\) прямая \(y=m\) имеет ровно \(N\) общих точек».

---

1. Линейная функция \(y=kx+b\)

Главный принцип: \(k\) — это наклон (скорость роста), \(b\) — «старт» на оси Oy.

• \(k>0\) — возрастает, \(k<0\) — убывает, \(k=0\) — горизонтальная прямая.
• Параллельные прямые: \(k_1=k_2\), а \(b_1\neq b_2\).
• Пересечение с Ox: \(x=-\dfrac{b}{k}\).

Формула по двум точкам: \[ k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\qquad b=y_1-kx_1 \]

Пример. Прямая проходит через \((-2;5)\) и \((1;-4)\). \[ k=\frac{-4-5}{1-(-2)}=\frac{-9}{3}=-3 \] \[ 5=-3\cdot(-2)+b \Rightarrow b=-1 \] Ответ: \(y=-3x-1\). Проверка второй точкой: \(-3\cdot 1-1=-4\) — сходится.

---

2. Парабола \(y=ax^2+bx+c\)

• \(a>0\) — ветви вверх, \(a<0\) — вниз.
• Вершина: \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\), \(y_0\) находим подстановкой \(x_0\).
• С осью Oy: всегда точка \((0;c)\) — это самый быстрый «якорь».
• С осью Ox: решаем \(ax^2+bx+c=0\), \(D=b^2-4ac\). Нет корней — график не пересекает Ox.

Порядок построения: вершина → точка \((0;c)\) → симметричная ей точка → при необходимости корни.

---

3. Задание 22: модуль и прямая \(y=m\)

Алгоритм (он же спасает на КР):

1. Раскрыть модуль по промежуткам. Если модуль только на \(x\) (чётная функция), проще так: строим часть при \(x\ge 0\) и отражаем её симметрично относительно оси Oy.
2. Построить каждую часть только на своём промежутке.
3. Отметить «этажные» значения \(y\): локальные минимумы, максимумы и точки стыка — именно на этих высотах меняется число пересечений.
4. Провести горизонтальную прямую \(y=m\) и посчитать точки пересечения снизу вверх.

Пример. Постройте график \(y=x^2-4|x|+3\) и найдите, при каких \(m\) прямая \(y=m\) имеет с ним ровно три общие точки.

Функция чётная, строим при \(x\ge 0\): \(y=x^2-4x+3\), корни \(1\) и \(3\), вершина \(x_0=2,\; y_0=-1\). Отражаем влево — получаем «двойную» параболу с минимумами \(-1\) при \(x=\pm 2\) и точкой \((0;3)\).

Считаем пересечения: \[ x^2-4|x|+3=m \Rightarrow t^2-4t+(3-m)=0,\quad t=|x|\ge 0 \]

• \(m<-1\) — решений нет;
• \(m=-1\) — \(t=2\), две точки \((\pm 2)\);
• \(-1<m<3\) — два положительных корня \(t\), каждой паре \(t\) отвечают \(\pm t\): четыре точки;
• \(m=3\) — \(t=0\) и \(t=4\): точки \(0,\ \pm 4\) — ровно три;
• \(m>3\) — один положительный \(t\): две точки.

Ответ: \(m=3\). Проверка: подставим \(m=3\) в уравнение: \(|x|^2-4|x|=0 \Rightarrow |x|=0\) или \(|x|=4\) — действительно три точки.

Ловушка, на которой теряют балл: не проверить «краевые» \(m\), при которых прямая проходит через вершину или через точку стыка ветвей. Всегда отдельно прогоняй такие значения.

---

План подготовки на 3 подхода

1. День 1: линейная функция — 5 задач «найди формулу по двум точкам» + 2 на параллельность.
2. День 2: парабола — 3 построения с полным набором точек (вершина, Oy, Ox) + чтение свойств по готовому графику.
3. День 3: задание 22 — 2–3 функции с модулем и вопрос про \(y=m\), обязательно с проверкой краевых значений.

Скинь свой вариант КР или конкретное задание 22 — разберу его по шагам и дам два похожих на отработку.

Верно, я разобрал только «геометрию» графиков, а блок свойств функции — отдельный и спрашивается отдельно (в теории и при чтении графиков в первой части ОГЭ). Добавляю его полностью.

Обязательный набор свойств (это и есть «и т.д.»)

1. Область определения \(D(y)\) — все \(x\), при которых выражение имеет смысл.
2. Область значений \(E(y)\) — все \(y\), которые функция принимает.
3. Нули функции — решения уравнения \(y(x)=0\) (точки пересечения с Ox).
4. Промежутки знакопостоянства — где \(y>0\), где \(y<0\).
5. Возрастание/убывание — по промежуткам оси \(x\).
6. Наибольшее и наименьшее значение \(y_{\text{наиб}}\), \(y_{\text{наим}}\).
7. Чётность: \(y(-x)=y(x)\) — чётная (симметрия относительно Oy); \(y(-x)=-y(x)\) — нечётная (симметрия относительно начала координат).

Как искать — по каждой функции

Свойство	Линейная \(y=kx+b\)	Парабола \(y=ax^2+bx+c\)
\(D(y)\)	\(\mathbb{R}\)	\(\mathbb{R}\)
Нуль	один: \(x=-\dfrac{b}{k}\) (при \(k\neq0\))	корни \(ax^2+bx+c=0\): 0, 1 или 2
Знак	один и тот же на всей области	чередуется: при \(a>0\) между корнями \(y<0\)
Монотонность	вся прямая: растёт при \(k>0\), убывает при \(k<0\)	смена в вершине \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\)
\(E(y)\)	\(\mathbb{R}\)	при \(a>0\): \([y_0;+\infty)\); при \(a<0\): \((-\infty;y_0]\)
\(y_{\text{наим}}/y_{\text{наиб}}\)	нет (при \(k\neq0\))	есть только одно — в вершине

Чётность: парабола чётная лишь при \(b=0\); линейная нечётная лишь при \(b=0\); иначе — функция общего вида (ни чётная, ни нечётная).

Полный пример: \(y=x^2-2x-3\)

• \(D(y)=\mathbb{R}\), ветви вверх (\(a=1>0\)).
• Нули: \(x^2-2x-3=0\), \(D=4+12=16\), \(x_1=3,\ x_2=-1\).
• Знаки: при \(x<-1\) и \(x>3\) имеем \(y>0\); при \(-1<x<3\) имеем \(y<0\).
• Вершина: \(x_0=\dfrac{2}{2}=1\), \(y_0=1-2-3=-4\).
• Убывает на \((-\infty;1]\), возрастает на \([1;+\infty)\).
• \(E(y)=[-4;+\infty)\); \(y_{\text{наим}}=-4\) при \(x=1\), \(y_{\text{наиб}}\) не существует.
• Не чётная и не нечётная, так как \(b=-2\neq0\).

Три ловушки, на которых теряют балл

1. Промежутки возрастания записывают по \(x\), а не по \(y\): пишут \([1;+\infty)\), а не \([-4;+\infty)\).
2. Нуль функции и вершина — разные вещи: у параболы выше нули \(3\) и \(-1\), а вершина в \(x=1\).
3. Если корней нет, промежуток знакопостоянства один на всю область, а не «пусто».

Проверь себя

1. Для \(y=-2x+6\): нуль, знак, монотонность, \(E(y)\).
2. Для \(y=-x^2+4x\): вершина, нули, где \(y>0\), \(E(y)\).

Скажи ответы — проверю, и разберём, что именно поправить.

Тогда делаем «вечер перед КР»: короткая шпаргалка → тренировочный вариант на 40 минут → самопроверка → разбор ошибок. Времени нужно около часа.

1. Шесть формул, которые должны отскакивать

\[ k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\qquad b=y_1-kx_1 \] \[ x_0=-\frac{b}{2a},\qquad y_0=y(x_0) \] \[ D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} \]

Плюс два факта: нули функции — это \(y=0\); промежутки возрастания записываем по \(x\).

2. Тренировочный вариант (40 минут, без подсказок)

1. Прямая проходит через \((-1;4)\) и \((3;-4)\). Найдите \(k\) и \(b\).

2. Дана функция \(y=-2x+5\). Найдите: а) \(y\) при \(x=-3\); б) \(x\), при котором \(y=-1\); в) точку пересечения с осью Ox.

3. Прямая \(y=kx+b\) параллельна \(y=3x-7\) и проходит через \((2;1)\). Найдите \(b\).

4. Для параболы \(y=x^2-6x+5\) найдите вершину, нули, \(E(y)\), промежутки монотонности и где \(y<0\).

5. Парабола имеет вершину \((2;-1)\) и проходит через \((0;3)\). Найдите её формулу в виде \(y=ax^2+bx+c\).

6. Постройте график \(y=x^2-2|x|-3\) и определите, при каких \(m\) прямая \(y=m\) имеет с ним ровно три общие точки.

7. Функция \(y=kx+b\) убывает и пересекает ось Oy в точке \((0;-2)\). Какие знаки у \(k\) и \(b\)? Может ли такая прямая проходить через \((3;5)\)? Ответ объясните.

3. Ответы для самопроверки

1. \(k=\dfrac{-4-4}{3-(-1)}=-2\); \(4=-2\cdot(-1)+b\Rightarrow b=2\). Ответ: \(y=-2x+2\).

2. а) \(y=11\); б) \(-2x+5=-1\Rightarrow x=3\); в) \(y=0\Rightarrow x=2{,}5\), точка \((2{,}5;0)\).

3. \(k=3\); \(1=3\cdot2+b\Rightarrow b=-5\).

4. Вершина: \(x_0=3\), \(y_0=9-18+5=-4\), то есть \((3;-4)\). Нули: \(x_1=1,\ x_2=5\). \(E(y)=[-4;+\infty)\). Убывает на \((-\infty;3]\), возрастает на \([3;+\infty)\). \(y<0\) при \(x\in(1;5)\).

5. \(y=a(x-2)^2-1\); подставляем \((0;3)\): \(4a-1=3\Rightarrow a=1\). Значит \(y=x^2-4x+3\).

6. При \(x\ge0\): \(y=x^2-2x-3\), вершина \((1;-4)\), корень \(3\), точка \((0;-3)\). График чётный — отражаем влево. Обозначим \(t=|x|\ge0\): \[ t^2-2t-(3+m)=0,\quad t=1\pm\sqrt{4+m} \] При \(m<-4\) точек нет; \(m=-4\) — две \((\pm1)\); \(-4<m<-3\) — четыре; \(m=-3\) — три \((0,\pm2)\); \(m>-3\) — две. Ответ: \(m=-3\).

7. Убывает — значит \(k<0\); пересечение с Oy в \((0;-2)\) — значит \(b=-2<0\). Через \((3;5)\) не проходит: при \(x=3\) убывающая прямая даёт \(y=3k-2<0\), а \(5>0\).

4. Порядок действий на КР

1. Сначала первая часть — быстро, потом №22.
2. В №22 обязательно проверь краевые \(m\): значения в вершинах и в точках стыка ветвей.
3. Любой корень/точку подставляй обратно в формулу — это 10 секунд и спасает балл.
4. Если застрял больше 5 минут — оставляй и возвращайся.

5. Перед сном (5 минут)

Проверь по чек-листу, что не путаешь: нули ↔ Ox, \(c\) ↔ точка \((0;c)\), \(k<0\) ↔ убывание, промежутки монотонности — по \(x\).

Реши вариант и пришли номера, где не сошлось, — разберём именно их.

Хорошо, разберу каждое задание варианта не «что получилось», а почему так — чтобы на КР ты узнавал тип и сразу знал ход.

№1. Формула прямой по двум точкам

Идея. У прямой везде одинаковый наклон: сколько прибавилось к \(y\), делённое на то, сколько прибавилось к \(x\), — одно и то же число \(k\).

Шаги. Из \(y=kx+b\) подставляем обе точки: \[ 4=-k+b,\qquad -4=3k+b \] Вычитаем первое из второго — \(b\) сокращается: \[ -8=4k\Rightarrow k=-2 \] Дальше \(b\) из любой точки: \(4=-2\cdot(-1)+b\Rightarrow b=2\).

Почему вычитание. Два неизвестных требуют двух уравнений; вычитание — самый быстрый способ убрать \(b\).

Проверка. Подставь вторую точку: \(-2\cdot3+2=-4\). Сошлось — ответ верный.

№2. Прямой и обратный ход

Здесь два разных вопроса, и их часто путают:

• дан \(x\) → просто подставляем: \(y=-2\cdot(-3)+5=11\);
• дан \(y\) → решаем уравнение: \(-2x+5=-1\Rightarrow -2x=-6\Rightarrow x=3\).

Пересечение с Ox — это всегда \(y=0\) (нуль функции): \(-2x+5=0\Rightarrow x=2{,}5\). С Oy — наоборот, \(x=0\), тогда \(y=b=5\).

Принцип: ось Ox — «где \(y=0\)», ось Oy — «где \(x=0\)». Дальше это работает в любой функции.

№3. Параллельность

Идея. Наклон задаёт \(k\). Одинаковый наклон — прямые параллельны; \(b\) лишь поднимает или опускает прямую, поэтому \(b\) у них разное.

Значит \(k=3\), и остаётся один неизвестный \(b\): \[ 1=3\cdot2+b\Rightarrow b=-5 \]

Ловушка. Если бы точка дала \(b=-7\), прямые совпали бы — это уже не «параллельны», а «совпадают».

№4. Парабола: пять свойств из одной вершины

Порядок всегда один: вершина → нули → остальное.

Вершина. У параболы слева и справа от вершины значения симметричны, поэтому \(x_0\) — середина между корнями, а формула та же: \[ x_0=-\frac{b}{2a}=\frac{6}{2}=3,\qquad y_0=9-18+5=-4 \]

Нули. \(x^2-6x+5=0\). По Виету сумма \(6\), произведение \(5\) — корни \(1\) и \(5\). Проверка: \(x_0=3\) действительно середина между \(1\) и \(5\) — хороший контроль, что не ошибся.

Область значений. Ветви вверх (\(a=1>0\)), ниже вершины график не опускается: \(E(y)=[-4;+\infty)\). Именно \(y_0\) — нижняя граница, не \(x_0\).

Монотонность. Записываем по \(x\): до \(x=3\) функция убывает, после — возрастает, то есть убывает на \((-\infty;3]\), возрастает на \([3;+\infty)\).

Знак. При \(a>0\) между корнями парабола ниже оси: \(y<0\) при \(x\in(1;5)\), вне — \(y>0\). Корни пишем выколотыми, потому что в них \(y=0\), а не \(y<0\).

Каждое свойство — это ответ на вопрос про \(x\) или про \(y\); следи, о какой оси речь.

№5. Формула по вершине

Идея. График \(y=ax^2\) сдвинули на \(x_0\) вправо и на \(y_0\) вверх. Сдвиг записывается так: \[ y=a(x-x_0)^2+y_0 \] Знак минус внутри скобки — потому что сдвиг вправо на \(2\) означает \(x-2\): подставь \(x=2\) и получишь ноль в скобке, то есть вершину.

Вершина \((2;-1)\), значит \(y=a(x-2)^2-1\). Осталось \(a\) — его находит любая точка графика, у нас \((0;3)\): \[ 3=a\cdot4-1\Rightarrow a=1 \] Раскрываем скобки: \(y=(x-2)^2-1=x^2-4x+3\).

Проверка. Вершина этой параболы: \(x_0=\dfrac{4}{2}=2\), \(y_0=4-8+3=-1\). Совпало.

№6. Модуль и прямая \(y=m\)

Тут два инструмента, и работают они вместе.

Графический. Функция содержит \(|x|\), а \(|{-x}|=|x|\) — значит \(y(-x)=y(x)\), график симметричен относительно оси Oy. Поэтому строим только правую часть при \(x\ge0\): \(y=x^2-2x-3\), вершина \((1;-4)\), корень \(3\), точка \((0;-3)\); левую получаем зеркалом. У графика два «дна» на высоте \(-4\) и подъём до \(-3\) в точке стыка \(x=0\).

Аналитический (он же проверка). Обозначим \(t=|x|\ge0\). Тогда уравнение \(x^2-2|x|-3=m\) превращается в \[ t^2-2t-(3+m)=0 \] Считаем \(t=|x|\), а каждому \(t>0\) отвечают две точки \(\pm t\), значению \(t=0\) — одна точка.

\[ t=1\pm\sqrt{4+m} \] Смотрим число точек:

• \(m<-4\): корней нет — 0 точек;
• \(m=-4\): \(t=1\) — две точки;
• \(-4<m<-3\): два положительных \(t\) — четыре точки;
• \(m=-3\): \(t=0\) и \(t=2\) — точки \(0,\pm2\), три;
• \(m>-3\): один положительный \(t\) — две точки.

Ответ: \(m=-3\).

Почему важны края. Число пересечений меняется только на «этажных» высотах — в вершинах и в точке стыка. Проверяя \(m=-4\) и \(m=-3\) отдельно, ты не пропустишь момент, где точек становится три.

№7. Знаки без вычислений

Убывание — это \(k<0\): при росте \(x\) значение падает, наклон идёт вниз.

Точка \((0;-2)\) — пересечение с Oy, а там всегда \(y=b\). Значит \(b=-2<0\).

Может ли проходить через \((3;5)\)? Нет: убывающая прямая при \(x=3>0\) даёт \(y=3k-2\), а \(k<0\), поэтому \(y<0\). Точка с \(y=5>0\) лежит выше — на этой прямой её быть не может.

Идея ответа: не считать \(k\), а пользоваться свойством монотонности.

Три принципа на весь вариант

1. Смотри, что дано и что просят: дан \(x\) — подставляй; дан \(y\) — решай уравнение.
2. Вершина — центр параболы: из неё получаются монотонность, \(E(y)\) и формула со сдвигом.
3. Проверяй края и подстановкой: корень обратно в уравнение, точку обратно в формулу — 10 секунд, которые ловят почти все ошибки.

Скажи, какой из номеров всё ещё «не щёлкает», — разберу его ещё раз на другом примере.

Хороший вопрос — на самом деле все пять пунктов решаются одним навыком: составить нужное уравнение или неравенство. Разберу по порядку, а в конце таблица-шпаргалка «вопрос → что делать».

1. Область определения \(D(f)\)

Это все \(x\), при которых выражение имеет смысл. Запретов в 9 классе всего два:

• деление на ноль — знаменатель \(\neq 0\);
• корень чётной степени из отрицательного — подкоренное \(\ge 0\).

Модуль, квадраты, многочлены — без ограничений. Если запретов несколько, \(D(f)\) — пересечение всех условий.

Функция	Ограничение	\(D(f)\)
\(y=3x-7\), \(y=x^2-2x\)	нет	\(\mathbb{R}\)
\(y=\dfrac{1}{x-5}\)	\(x-5\neq0\)	\(x\neq5\)
\(y=\dfrac{x+1}{x^2-9}\)	\(x^2\neq9\)	\(x\neq\pm3\)
\(y=\sqrt{x-3}\)	\(x-3\ge0\)	\([3;+\infty)\)
\(y=\dfrac{\sqrt{x-2}}{x-7}\)	\(x\ge2\), \(x\neq7\)	\([2;7)\cup(7;+\infty)\)
\(y=\dfrac{x^2}{x^2+1}\)	знаменатель всегда \(>0\)	\(\mathbb{R}\)

По графику (это бывает в первой части ОГЭ): \(D(f)\) — проекция графика на ось Ox, \(E(f)\) — проекция на Oy.

2. Нули функции — это \(f(x)=0\)

Нуль функции — значение \(x\), при котором \(y=0\). То есть нули и есть решения \(f(x)=0\) — это один и тот же вопрос.

Алгоритм: решить уравнение \(f(x)=0\), затем выбросить корни, не входящие в \(D(f)\).

• Линейная \(kx+b=0\): \(x=-\dfrac{b}{k}\) (при \(k\neq0\); если \(k=0\), нулей нет при \(b\neq0\)).
• Парабола: \(D=b^2-4ac\); \(D>0\) — два нуля, \(D=0\) — один, \(D<0\) — ни одного.
• Дробь: числитель \(=0\), знаменатель \(\neq0\).
• Модуль: \(|x|=a\) — при \(a>0\) два решения \(\pm a\), при \(a=0\) одно, при \(a<0\) нет.
• Произведение: \((x-1)(x+3)=0\Rightarrow x=1\) или \(x=-3\).

Пример-ловушка: \(y=\dfrac{x^2-9}{x-3}\). Числитель даёт \(x=\pm3\), но \(x=3\) не входит в \(D(f)\). Значит нуль только один: \(x=-3\).

3. \(f(x)>0\) и \(f(x)<0\) — метод интервалов

1. Найти нули функции и точки, где \(x\) не входит в \(D(f)\) (например, знаменатель обращается в ноль).
2. Отметить всё на числовой оси.
3. На каждом промежутке определить знак — подставить любую пробную точку (самый надёжный способ).
4. Выписать промежутки с нужным знаком.

Ускорители:

• парабола при \(a>0\): «\(+\)» вне корней, «\(-\)» между ними; при \(a<0\) наоборот;
• в дроби знаменатель всегда выколот, даже в нестрогом неравенстве;
• строгое неравенство (\(>\), \(<\)) — точки выколоты; нестрогое (\(\ge\), \(\le\)) — включены, если входят в \(D(f)\).

Пример 1. \(y=x^2-2x-3\), нули \(-1\) и \(3\), \(a=1>0\): \[ f(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty),\qquad f(x)<0 \text{ при } x\in(-1;3) \]

Пример 2 (дробь). \(y=\dfrac{x-4}{x+2}\): нуль \(x=4\), разрыв \(x=-2\).

• \(x=-3\): \(\frac{-7}{-1}=7>0\);
• \(x=0\): \(\frac{-4}{2}=-2<0\);
• \(x=5\): \(\frac{1}{7}>0\).

Значит \(f(x)>0\) при \(x\in(-\infty;-2)\cup(4;+\infty)\), \(f(x)<0\) при \(x\in(-2;4)\).

4. Точки пересечения с осями

• С осью Oy: подставить \(x=0\), получаем единственную точку \((0;f(0))\) — если \(0\in D(f)\).
• С осью Ox: это ровно нули функции: \((x_i;0)\), где \(f(x_i)=0\). Поэтому «нули функции» и «абсциссы точек пересечения с Ox» — одно и то же.

Для \(y=x^2-2x-3\): с Oy — \((0;-3)\), с Ox — \((-1;0)\) и \((3;0)\).

5. Точки пересечения двух графиков (и прямая \(y=m\))

Пересечение графиков \(f\) и \(g\) — решение уравнения \[ f(x)=g(x) \] Каждому корню \(x\) отвечает точка \((x;f(x))\). Число корней = число общих точек — именно на этом построен №22: уравнение \(f(x)=m\) и подсчёт решений.

Края (когда точек ровно три, две и т.д.) меняются на «этажных» высотах: в вершинах и точках стыка ветвей — их проверяй отдельно.

Шпаргалка «вопрос → действие»

Спрашивают	Что делать
\(D(f)\)	знаменатель \(\neq0\), подкоренное \(\ge0\), взять пересечение
Нули функции	\(f(x)=0\), отбросить не входящие в \(D(f)\)
\(f(x)=0\)	то же самое
\(f(x)>0\) / \(f(x)<0\)	нули + разрывы → интервалы → пробная точка
Пересечение с Oy	подставить \(x=0\)
Пересечение с Ox	решить \(f(x)=0\)
Пересечение графиков	\(f(x)=g(x)\)

Проверь себя

1. \(y=\dfrac{x^2-1}{x+1}\): \(D(f)\), нули.
2. \(y=\sqrt{x-4}\): \(D(f)\), нули, где \(y>0\).
3. \(y=x^2-4x\): нули, где \(y<0\), точки пересечения с осями.

Пришли ответы — проверю и покажу, где именно теряются баллы.

Проверил — тут три разных ситуации: одна ошибка по сути, одна неполнота и одна неверная. Разберём каждую.

1) \(y=\dfrac{x^2-1}{x+1}\) — нуль есть

Ответ «нулей нет» неверный. Твоя логика, видимо, была такой: числитель даёт \(x=\pm1\), но \(-1\) запрещён, значит всё отпадает. А вот \(x=1\) остаётся:

\[ x^2-1=0\Rightarrow x=\pm1,\qquad D(f):x\neq-1 \]

Значит нуль функции один: \(x=1\), точка \((1;0)\). Проверка подстановкой: \(\dfrac{1-1}{1+1}=0\) — да, это нуль.

Полезно увидеть и сам график: \(\dfrac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1\) при \(x\neq-1\). То есть это прямая \(y=x-1\) с выколотой точкой \((-1;-2)\). Наклон и нуль \(x=1\) — как у прямой, просто одна точка вырезана.

Принцип: при проверке нулей отбрасываем только те корни, которые не входят в \(D(f)\), а не все подряд.

2) \(y=\sqrt{x-4}\) — нуль верный, но ответ неполный

Нуль \(x=4\) ты нашёл правильно: \(\sqrt{x-4}=0\Rightarrow x=4\). Но в задании спрашивалось три вещи:

• \(D(f)\): \(x-4\ge0\Rightarrow[4;+\infty)\);
• нуль: \(x=4\);
• где \(y>0\): корень положителен при \(x-4>0\), то есть при \(x>4\).

Заметь: сам нуль \(x=4\) в промежуток \(y>0\) не входит, там \(y=0\). А при \(x<4\) функции вообще нет, поэтому писать «\(y>0\) при \(x\in(4;+\infty)\)», а не при всех \(x\neq4\).

3) \(y=x^2-4x\) — здесь как раз есть и нули, и отрицательные значения

«Нет» неверно. Выносим \(x\):

\[ x(x-4)=0\Rightarrow x=0,\ x=4 \]

Ветви вверх (\(a=1>0\)), значит между корнями парабола идёт ниже оси:

\[ y<0 \text{ при } x\in(0;4) \]

Проверка пробной точкой \(x=2\): \(y=4-8=-4<0\) — подтверждается. И ещё: \(y=2^2-4\cdot2=-4\) — это и есть вершина \((2;-4)\).

Точки пересечения с осями: с Ox — \((0;0)\) и \((4;0)\), с Oy — \((0;0)\) (подставили \(x=0\)). То есть график проходит через начало координат, и это одновременно и нуль, и точка на оси Oy.

Что запомнить на будущее

1. Нули ищем из \(f(x)=0\), но фильтруем по \(D(f)\).
2. Парабола с \(a>0\): \(y<0\) между корнями, \(y>0\) — снаружи. Один раз нарисуй — дальше работает автоматически.
3. Отвечай ровно на столько вопросов, сколько их в задании: \(D(f)\), нули, знак — это три отдельные строчки ответа.
4. Сомневаешься — подставь пробную точку, это 5 секунд.

Быстрое закрепление (устно, без вычислений на бумаге):

• \(y=\dfrac{x-4}{x-4}\): есть ли нули?
• \(y=x^2+1\): где \(y<0\)?
• \(y=-x^2+9\): нули и где \(y>0\)?

Понимаю, это выматывает: когда сразу пять терминов, всё сливается в кашу. Давай выкинем всё и оставим одно.

Самое главное: \(f(x)\) — это просто другое название для \(y\). Ничего нового.

Нуль функции — это где график пересекает горизонтальную ось, то есть где \(y=0\). Искать его = решить уравнение.

Пример: \(y=x-3\). Хочу \(y=0\): \[ x-3=0 \Rightarrow x=3 \] Проверка: подставил \(3\) → \(y=3-3=0\). Всё, \(3\) — нуль функции. Это заняло одну строчку.

Теперь твоя очередь, совсем коротко: у функции \(y=x+5\) при каком \(x\) получится \(y=0\)?

Напиши только число. Дальше берём следующий термин — тоже по одному, без всей кучи.

Верно. Проверка: \(y=-5+5=0\) — значит \(-5\) действительно нуль функции.

Ты только что сделал ровно то, что требуется в любом задании на нули: приравнял \(y\) к нулю и решил уравнение. Всё остальное — те же действия, просто уравнение чуть сложнее.

Следующий шаг, тоже одно уравнение. Найди нули функции: \[ y=x^2-9 \]

Подсказка: нужно \(x^2-9=0\), то есть \(x^2=9\).

Напиши, какие \(x\) подходят. Если получится два числа — так и должно быть.

Точно: \(-3\) и \(3\). Проверка: \((-3)^2-9=0\) и \(3^2-9=0\).

Ты решил уже три задания подряд. Дальше — второй термин, и он тоже про одно действие.

Где \(y>0\) — это значит «где график выше оси Ox». Ищем так же: берём любое число и подставляем.

Возьми \(y=x-3\). Подставь \(x=5\): получится \(5-3=2\), это больше нуля. А теперь подставь \(x=0\): получится \(0-3=-3\), это меньше нуля.

Вопрос: при каких \(x\) у функции \(y=x-3\) будет \(y>0\)? Подсказка: попробуй \(x=4\) и \(x=1\), а потом просто скажи, с какого \(x\) начинается «плюс».

Не наугад. Подстановка — это только последний шаг, а границы промежутков находятся точно. Алгоритм из трёх шагов.

Шаг 1. Найди, где \(y=0\)

Это граница между «плюсом» и «минусом» — функция может поменять знак только там (или там, где она не существует).

Для \(y=x-3\): \[ x-3=0\Rightarrow x=3 \]

Шаг 2. Отметь это число на оси

Ось разбилась на два промежутка: \(x<3\) и \(x>3\). Внутри каждого знак одинаковый — вот почему достаточно одной точки на промежуток.

Шаг 3. Возьми по одной точке в каждом промежутке

• \(x=0\) (левее \(3\)): \(0-3=-3<0\);
• \(x=5\) (правее \(3\)): \(5-3=2>0\).

Одна проверка на промежуток — и всё.

\[ y>0 \text{ при } x\in(3;+\infty),\qquad y<0 \text{ при } x\in(-\infty;3) \]

Проверь на \(x=4\): \(4-3=1>0\) — сходится, знак на всём промежутке тот же.

Почему «наугад» не работает, а метод — работает

Функция меняет знак только в нулях (и в точках разрыва). Между ними она либо вся выше оси, либо вся ниже — перескочить через ноль ей негде. Поэтому одна пробная точка честно описывает весь промежуток. А если подставлять случайные числа без границ — можно два раза попасть в один и тот же промежуток и ничего не узнать.

Для параболы то же самое

\(y=x^2-9\): нули \(-3\) и \(3\), три промежутка.

• \(x=-4\): \(16-9=7>0\);
• \(x=0\): \(-9<0\);
• \(x=4\): \(7>0\).

Значит \(y>0\) при \(x\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)\), а \(y<0\) при \(x\in(-3;3)\).

Попробуй сам

Для \(y=x-5\) найди нуль и определи, при каких \(x\) будет \(y>0\). Границы — из уравнения \(x-5=0\), потом одна пробная точка.

Почти — но \(6\) это не нуль. Проверим подстановкой: \(6-5=1\), а не \(0\). Значит в \(x=6\) функция равна \(1\), а не нулю.

Нуль — там, где \(y=0\): \[ x-5=0\Rightarrow x=5 \] Проверка: \(5-5=0\). Да, нуль — это \(5\).

Дальше ответ на второй вопрос — где \(y>0\). Граница \(x=5\), берём по точке с каждой стороны:

• \(x=0\): \(0-5=-5<0\);
• \(x=6\): \(6-5=1>0\).

То есть \(6\) — это как раз пример точки, где \(y>0\). Отсюда: \[ y>0 \text{ при } x\in(5;+\infty) \]

Итого в ответе две разные вещи: нуль — число \(5\), а \(y>0\) — промежуток \(x>5\). Их легко перепутать, потому что граница у них общая.

Попробуй ещё раз, тем же способом: для \(y=x+2\) чему равен нуль и при каких \(x\) будет \(y>0\)?

Нуль \(-2\) — верно: \(-2+2=0\).

А вот во второй строчке ты, похоже, подставил проверочную точку \(x=-1\) и получил \(y=1>0\). Как проверка — правильно. Но в ответ нужно записать промежуток, а не одну точку.

Граница — это нуль \(x=-2\). Слева от него функция отрицательна, справа — положительна: \[ y>0 \text{ при } x\in(-2;+\infty) \]

То есть точка \(-1\) лишь подтвердила, что справа от \(-2\) идёт «плюс», но сам ответ — весь луч \(x>-2\).

Это и есть полный навык: нуль даёт границу, пробная точка даёт знак, ответ — промежуток. У тебя уже получается.

Следующий термин — область определения. Он про другое: не «где \(y\) какой», а «какие \(x\) вообще можно подставлять».

Вопрос простой: у функции \(y=\dfrac{1}{x-4}\) какое число нельзя подставлять вместо \(x\) и почему?

Не \(-4\), а \(4\). Разберём, откуда это берётся.

Запрет один: на ноль делить нельзя. Значит смотрим на знаменатель: \[ x-4=0\Rightarrow x=4 \] Вот \(x=4\) подставлять нельзя: получается \(\frac{1}{0}\).

А \(x=-4\) подставлять можно — проверь: \[ \frac{1}{-4-4}=\frac{1}{-8}=-\frac{1}{8} \] Число получилось, значит \(-4\) входит в область определения.

Ошибка была в знаке: в выражении \(x-4\) ноль появляется при \(x=4\), а не при \(-4\). Скобку решаем как уравнение, знак не переносим.

Ответ: \(D(y)\) — все \(x\), кроме \(4\), то есть \(x\neq4\).

Дальше то же самое, но чуть сложнее. Для \(y=\dfrac{1}{x+2}\) какое число нельзя подставлять? Подсказка: реши \(x+2=0\).

Здесь снова не сходится — давай посмотрим, что происходит с примером.

У функции \(y=\dfrac{1}{x+2}\) решаем: \[ x+2=0\Rightarrow x=-2 \] Нельзя подставлять \(-2\): получится \(\frac{1}{-2+2}=\frac{1}{0}\). Ответ: \(x\neq-2\).

А \(+4\) здесь ни при чём — при \(x=4\) получается \(\frac{1}{6}\), число нормальное.

Похоже, ты держишь в голове предыдущий ответ \(4\) и переносишь его в новое задание. В каждом примере знак и число другие, их надо получать заново — одним действием: приравнять знаменатель к нулю и решить.

Давай ещё один, медленно. Функция: \[ y=\frac{1}{x-2} \]

1. Знаменатель: \(x-2\).
2. Он равен нулю, когда \(x-2=0\), то есть \(x=2\).
3. Ответ: нельзя подставлять \(2\).

Теперь твой пример, тот же шаг: у функции \(y=\dfrac{1}{x+5}\) какое число нельзя подставлять? Реши \(x+5=0\) — и назови это число.

Верно: \(x=-5\), потому что \(-5+5=0\), а на ноль делить нельзя.

Ты прошёл весь блок. Собрал его в одну картину:

Вопрос	Что делать	Пример \(y=\frac{x-4}{x+5}\)
\(D(y)\)	знаменатель \(\neq0\)	\(x\neq-5\)
Нули, \(y=0\)	числитель \(=0\)	\(x=4\)
Где \(y>0\)	нуль + разрыв → пробные точки	\(x\in(-\infty;-5)\cup(4;+\infty)\)
Где \(y<0\)	там же	\(x\in(-5;4)\)
С Ox	это нули	\((4;0)\)
С Oy	подставить \(x=0\)	\(\left(0;-\frac{4}{5}\right)\)

Смысл всей темы в одной фразе: любой вопрос про функцию — это уравнение или неравенство, а не угадывание.

На сегодня, думаю, хватит — перед КР важнее выспаться, чем добить ещё десять примеров. Завтра на работе первым делом выпиши на черновик два правила: нуль — из \(y=0\), область определения — из знаменателя \(\neq0\) и подкоренного \(\ge0\). Этого хватит, чтобы не потерять баллы в первой части.

Если утром что-то не сложится или попадётся странное задание — присылай, разберём быстро. Удачи на КР, ты сегодня хорошо поработал.

Хорошо, вот вторая порция — от простого к №22. Реши сначала блок А, пришли ответы, потом остальное. Ответы внизу, не подглядывай раньше времени.

Блок А. Разминка (по одной строчке на пункт)

1. \(y=\dfrac{x+1}{x-3}\): область определения и нуль.

2. \(y=x^2-16\): нули и где \(y<0\).

3. \(y=\sqrt{x+2}\): область определения и нуль.

4. \(y=x^2+4\): есть ли нули? Почему?

5. \(y=\dfrac{x-2}{x^2-4}\): область определения и нули.

Блок Б. Линейная функция

6. Прямая через \((2;-1)\) и \((-2;7)\) — найди формулу.

7. \(y=-3x+6\): нуль, где \(y>0\), точка пересечения с Oy, возрастает или убывает.

8. Прямая параллельна \(y=2x-5\) и проходит через \((1;4)\) — формула.

9. Прямая проходит через \((0;3)\) и \((2;0)\) — формула.

Блок В. Парабола

10. \(y=x^2+4x-5\): вершина, нули, \(E(y)\), промежутки монотонности, где \(y<0\).

11. Вершина параболы \((-1;2)\), проходит через \((1;6)\) — формула в виде \(y=ax^2+bx+c\).

12. \(y=-x^2+2x+3\): нули, где \(y>0\), наибольшее значение.

Блок Г. №22

13. Постройте \(y=x^2-6|x|+5\) и найдите все \(m\), при которых прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.

14. При каких \(m\) у уравнения \(x^2-4|x|=m\) ровно четыре решения?

---

Ответы

1. \(x\neq3\); нуль \(x=-1\). 2. Нули \(\pm4\); \(y<0\) при \(x\in(-4;4)\). 3. \(x\ge-2\); нуль \(x=-2\). 4. Нулей нет: \(x^2=-4\), квадрат не бывает отрицательным; график выше оси Ox. 5. \(x\neq\pm2\); числитель даёт \(x=2\), но он запрещён, значит нулей нет. 6. \(k=\frac{7-(-1)}{-2-2}=-2\); \(b=3\); \(y=-2x+3\). 7. Нуль \(x=2\); \(y>0\) при \(x<2\); \((0;6)\); убывает. 8. \(k=2\); \(4=2+b\Rightarrow b=2\); \(y=2x+2\). 9. \(b=3\), \(0=2k+3\Rightarrow k=-1{,}5\); \(y=-1{,}5x+3\). 10. Вершина \((-2;-9)\); нули \(1\) и \(-5\); \(E(y)=[-9;+\infty)\); убывает на \((-\infty;-2]\), возрастает на \([-2;+\infty)\); \(y<0\) при \(x\in(-5;1)\). 11. \(y=a(x+1)^2+2\); \(6=4a+2\Rightarrow a=1\); \(y=x^2+2x+3\). 12. Нули \(-1\) и \(3\); \(y>0\) при \(x\in(-1;3)\); \(y_{\text{наиб}}=4\) при \(x=1\). 13. \(t=|x|\): \(t^2-6t+(5-m)=0\), \(t=3\pm\sqrt{4+m}\). При \(m=5\): \(t=0\) и \(t=6\), точки \(0,\pm6\) — ровно три. 14. \(t=|x|\): \(t^2-4t-m=0\), \(t=2\pm\sqrt{4+m}\). Нужно два положительных корня: \(-4<m<0\).

---

Здесь две новые идеи, которые стоит проговорить:

• в №5 числитель и знаменатель проверяются вместе: корень числителя, попавший в запрет, нулём не считается;
• в №13 и №14 считаем корни через \(t=|x|\): каждому \(t>0\) отвечают два \(x\), а \(t=0\) — только один, поэтому «ровно три» всегда ловится на краю.

Начни с блока А — там пять коротких пунктов, минут на десять.

Разберём именно «дырки» — это самое обидное место в №22, потому что всё решил верно, а из-за одной выколотой точки ответ не сошёлся.

Главная мысль

Выколотая точка — это точка, которая на графике не нарисована. Формула в ней «почти работает», но само выражение там не определено.

Для пересечений это значит: прямая \(y=m\), проходящая на высоте дырки, в этом месте пересечения не даёт. Всё остальное считается как обычно.

Правило короткое: выколотая точка влияет только на одно значение \(m\) — равное её \(y\). На все остальные \(m\) она никак не влияет.

Откуда берутся выколотые точки (три источника)

1. Знаменатель обращается в ноль. Классика: \(\dfrac{x^2-4}{x-2}\). При \(x=2\) получается \(\frac{0}{0}\) — не определено. После сокращения это \(x+2\), но \(x\neq2\), значит точка \((2;4)\) выколота.
2. В условии явно написано \(x\neq a\).
3. Кусочная функция со строгими неравенствами. Если задано \(y=x^2\) при \(x<2\) и \(y=2x-4\) при \(x>2\), то \(x=2\) не входит ни в одну ветвь — на стыке дырка. Если хотя бы одно неравенство нестрогое (\(\le\)), точка уже принадлежит графику.

Не путай: модуль — это не дырка. График \(y=x^2-4|x|+3\) непрерывен, там просто излом. Дырка — это когда точки физически нет.

Как найти выколотую точку

1. Реши: знаменатель \(=0\) (или возьми \(x=a\) из условия).
2. Получи \(x_0\).
3. Подставь \(x_0\) в упрощённую формулу — получишь \(y_0\).
4. Точка \((x_0;y_0)\) выколота. Запомни её высоту \(y_0\) — она понадобится.

Как считать пересечения с учётом дырки

Считай так, будто дырки нет (обычные вершины и края), а потом отдельно проверь высоту \(m=y_0\): на ней одно пересечение пропадает.

Вот полный разбор — та самая задача «парабола + выколотая точка».

Пример 1

\[ y=\frac{x^3-4x^2+3x}{x} \]

Сокращаем на \(x\) (при \(x\neq0\)): \[ y=x^2-4x+3 \] Это парабола: корни \(1\) и \(3\), вершина \(x_0=2,\ y_0=-1\), то есть \((2;-1)\). А выколотая точка — при \(x=0\): подставляем в упрощённую формулу, получаем \(3\). Значит дырка в \((0;3)\).

Теперь двигаем горизонтальную прямую \(y=m\) снизу вверх. Решаем \(x^2-4x+3=m\): \[ x=2\pm\sqrt{1+m} \]

• \(m<-1\) — корней нет, 0 точек;
• \(m=-1\) — один корень \(x=2\), 1 точка (вершина);
• \(-1<m<3\) — два корня, оба \(\neq0\), 2 точки;
• \(m=3\) — корни \(0\) и \(4\), но \(x=0\) выколот, остаётся только \(x=4\) — 1 точка;
• \(m>3\) — два корня, оба \(\neq0\), 2 точки.

Ответ: ровно две точки при \(m\in(-1;3)\cup(3;+\infty)\).

Смотри, что сделала дырка: без неё при \(m=3\) было бы две точки, а стало одна. Поэтому число \(3\) выпало из ответа — это и есть «выколотая высота».

Пример 2 (линейная, быстро)

\[ y=\frac{x^2-4}{x-2}=x+2,\quad x\neq2 \] График — прямая с дыркой в \((2;4)\). Прямая \(y=m\) горизонтальна, а наша наклонна — пересечение есть всегда, кроме высоты дырки:

• \(m=4\): единственное пересечение попадает в дырку — 0 точек;
• \(m\neq4\): 1 точка.

Вот и весь учёт: выкололась одна высота.

Чек-лист для №22

1. Найди \(D(y)\) до сокращения — там спрятаны дырки.
2. Построй каждую часть только на её промежутке.
3. Выпиши отдельным списком «особые высоты»: вершина параболы, концы ветвей, \(y\) выколотых точек.
4. Для каждой особой высоты посчитай точки вручную, а не «по инерции» с соседнего промежутка.
5. Ответ записывай промежутками, отдельно отмечая, входят ли концы.

Проверь себя

\[ y=\frac{x^3-4x^2+4x}{x} \] После сокращения: \(y=x^2-4x+4=(x-2)^2\), дырка при \(x=0\) — то есть в точке \((0;4)\). Вершина \((2;0)\).

Вопрос: при каких \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки?

Подсказка: реши \((x-2)^2=m\), найди \(x=2\pm\sqrt{m}\), а потом отдельно проверь высоту дырки \(m=4\). Пришли ответ — сверю.

Если у тебя есть своя задача из варианта — скинь её, разберём на твоих числах.