36 Вычислите среднее квадратичное чисел: а) 1, 1, 5; б) 2, 4, 5, 6; в) 1,3, 2,4, 4,1.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
36 Вычислите среднее квадратичное чисел: а) 1, 1, 5; б) 2, 4, 5, 6; в) 1,3, 2,4, 4,1. При необходимости округлите ответ до сотых.
37 Вычислите среднее гармоническое чисел: а) 2, 3, 6; б) 2, 4, 5, 20; в) 1,3, 2,4, 4,1. При необходимости округлите ответ до сотых.
38 Вычислите среднее геометрическое чисел: а) 1, 6, 12, 18; б) 12, 63, 98; в) 1,3, 2,4, 4,1. При необходимости округлите ответ до сотых.
39 Средняя ошибка в измерениях вычисляется как среднее квадратичное измеренных ошибок. При испытаниях лазерного дальномера на эталонной дистанции 10 м ошибки измерения составили: −2 мм, 0 мм, 3 мм, 5 мм, 6 мм. Найдите среднюю ошибку измерений. Результат округлите до целого числа мм.
40 Пять предприятий занимаются выпуском одной и той же продукции. В таблице 15 дано время, необходимое на производство одной единицы продукции на этих предприятиях. а) Покажите, что среднее время, затрачиваемое на производство единицы продукции на этих предприятиях, равно среднему гармоническому измеренных данных. б) Найдите среднее время на изготовление единицы продукции. Результат округлите до сотых долей часа. Таблица 15. Время на производство единицы продукции, ч/ед. Предприятие | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 Время | 2,34 | 2,67 | 2,12 | 2,94 | 3,02
41 При определении потребляемой электроприбором мощности инженер сделал пять измерений силы тока, протекающего через прибор при постоянном напряжении: \(I_1, I_2, ..., I_5\). Инженер знает, что мощность вычисляется по формуле \(W = RI^2\), где \(R\) — известное электрическое сопротивление прибора. Инженер нашёл среднее значение силы тока \(\bar I\) и вычислил среднюю потребляемую мощность по формуле \(W_{\text{ср}} = R \cdot \bar I^2\). а) Верно ли, что инженер нашёл среднее арифметическое значение мощности? б) Предложите правильную формулу для определения средней мощности по измеренным значениям силы тока.
42 Дан числовой набор \(x = \{x_1, x_2, ..., x_n\}\). Его среднее квадратичное равно \(Q_x\). [обрезано]
На фото несколько номеров. Ниже — решения для 36–41; №42 обрезан.
Кратко
| № | а) | б) | в) |
|---|---|---|---|
| 36 | 3 | 4,5 | 2,84 |
| 37 | 3 | 4 | 2,10 |
| 38 | 6 | 42 | 2,34 |
- 39: \(4\) мм.
- 40: б) \(2{,}57\) ч/ед.
- 41: а) нет; б) \(W_{\text{ср}}=R\cdot \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}I_i^2\).
Как это получается
36. Среднее квадратичное — это корень из среднего квадрата: \[ Q=\sqrt{\frac{x_1^2+\cdots+x_n^2}{n}}. \] а) \(\sqrt{(1^2+1^2+5^2)/3}=\sqrt9=3\).
б) \(\sqrt{(2^2+4^2+5^2+6^2)/4}=\sqrt{20{,}25}=4{,}5\).
в) \(\sqrt{(1{,}3^2+2{,}4^2+4{,}1^2)/3}=\sqrt{8{,}0866\ldots}\approx2{,}84\).
37. Среднее гармоническое: \[ H=\frac{n}{\frac1{x_1}+\cdots+\frac1{x_n}}. \] а) \(1/2+1/3+1/6=1\), поэтому \(H=3\).
б) \(1/2+1/4+1/5+1/20=1\), поэтому \(H=4\).
в) \(3/(1/1{,}3+1/2{,}4+1/4{,}1)\approx2{,}098\), округляем до \(2{,}10\).
38. Среднее геометрическое: \[ G=\sqrt[n]{x_1\cdot\ldots\cdot x_n}. \] а) \(1\cdot6\cdot12\cdot18=1296\), а \(\sqrt[4]{1296}=6\).
б) \(12\cdot63\cdot98=74088\), а \(\sqrt[3]{74088}=42\).
в) \(1{,}3\cdot2{,}4\cdot4{,}1=12{,}792\), а \(\sqrt[3]{12{,}792}\approx2{,}34\).
39. Ошибки сначала возводят в квадрат — минус при этом исчезает: \[ \sqrt{\frac{(-2)^2+0^2+3^2+5^2+6^2}{5}} =\sqrt{\frac{74}{5}} =\sqrt{14{,}8} \approx3{,}85. \] До целого числа: \(4\) мм.
40. Для времени на единицу продукции используют среднее гармоническое: \[ \bar t=\frac{5}{\frac1{2{,}34}+\frac1{2{,}67}+\frac1{2{,}12}+\frac1{2{,}94}+\frac1{3{,}02}}. \] Сумма обратных величин: \[ \approx1{,}94484, \] поэтому \[ \bar t\approx\frac{5}{1{,}94484}\approx2{,}5709\approx2{,}57\text{ ч/ед.} \] Почему гармоническое: переходят к производительностям \(p_i=1/t_i\), усредняют их, а затем берут обратную величину — получается как раз \(5/\sum(1/t_i)\).
41. Инженер нашёл не среднюю мощность, а мощность при среднем токе: \[ R\bar I^2. \] Средняя мощность — это среднее арифметическое значений \(W_i=RI_i^2\): \[ W_{\text{ср}} =\frac1n\sum_{i=1}^{n} R I_i^2 =R\cdot\frac1n\sum_{i=1}^{n}I_i^2. \] То есть нужен не квадрат среднего тока, а среднее квадратов токов. В общем случае \[ R\bar I^2\ne R\cdot\overline{I^2}, \] причём \(R\bar I^2\) обычно меньше. Равенство будет только при одинаковых токах.
Обсуждение
2 сообщенияДай ещё задачу на среднее гармоническое 54 номер
№54 — это задача на дисперсию, а не на среднее гармоническое.
Краткий ответ:
Дисперсия после удаления Мальты, Ватикана и Монако уменьшится.
До удаления \(D \approx 15\,584\,691{,}7\), после удаления \(D \approx 5\,799{,}4\) \((чел./км^2)^2\).
Решение
Используем школьную формулу дисперсии: \[ D=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2 =\frac{\sum x_i^2}{n}-\bar x^2. \]
Все страны Южной Европы из таблицы 6:
\[ n=16,\qquad \sum x_i=21\,243,\qquad \sum x_i^2=277\,559\,133. \]
Среднее: \[ \bar x=\frac{21\,243}{16}=1327{,}6875. \]
Дисперсия: \[ D=\frac{277\,559\,133}{16}-1327{,}6875^2 \approx 15\,584\,691{,}7. \]
Удаляем Мальту, Ватикан и Монако. Остаётся \(13\) стран:
\[ n=13,\qquad \sum x_i=1610,\qquad \sum x_i^2=274\,784. \]
Тогда \[ \bar x=\frac{1610}{13}\approx 123{,}85, \] \[ D=\frac{274\,784}{13}-123{,}85^2 \approx 5\,799{,}36. \]
Вывод: дисперсия уменьшилась примерно с \(15{,}6\) млн до \(5{,}8\) тыс. — выбросы очень сильно увеличивали разброс. Предположение о том, что после их удаления дисперсия уменьшится, верно.
