Вариант II. 1. По заданному графику функции y = f(x) (рис. 66) назвать критические, стационарные точки и точки экстремума.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Вариант II

1. [2] По заданному графику функции $y=f(x)$ (рис. 66) назвать критические, стационарные точки и точки экстремума.
[Рисунок: график $y=f(x)$; ось $x$ с отметками $-3,-2,-1,0,1,2,4,6,8$; над точкой $x=1$ написано $f'(1)=0$; кривая имеет локальные повороты вблизи $x=-3,-2,1,4,6$.]
Рис. 66

Найти стационарные точки функции (2—11).

2. [2] $y=-x^2+1$. 3. [3] $y=x^2-4x$.

3. [3] $y=x^3+3x^2$. 5. [3] $y=x^3-x$.

4. [4] $y=2x^3-3x^2-12x+5$.

5. [4] $y=\frac{e^{2x}}{2}-e^x$.

6. [4] $y=6e^{2x}-e^{3x}$. 9. [4] $y=\cos\frac{x}{3}$.

7. [4] $y=\operatorname{tg}2x$. 11. [6] $y=\sin x\cdot\cos x$.

Найти точки экстремума функции (12—18).

12. [2] $y=5x-2$. 13. [3] $y=-4x^2+24x-15$.

13. [4] $y=x^3+6x^2$. 15. [4] $y=6x-x^3$.

14. [5] $y=\frac{2}{x}+\frac{x}{3}$. 17. [5] $y=\frac{2x+3}{3-2x}$.

15. [5] $y=\frac{x^3}{2x-3}$.

Answer

Коротко: стационарные точки находим из условия $f'(x)=0$. Точка будет экстремумом только тогда, когда при переходе через неё $f'$ меняет знак. Критические точки — это ещё и точки, где $f'$ не существует.

1. По рис. 66

Критические точки: $x=-3,\,-2,\,1,\,4,\,6$.

Стационарные точки: $x=-2,\,1,\,4,\,6$.

Точки экстремума:
$x=-3$ — минимум;
$x=-2$ — максимум;
$x=4$ — минимум;
$x=6$ — максимум.

В точке $x=1$ касательная горизонтальна, но экстремума там нет. В точке $x=-3$ производная не существует.

2–11. Стационарные точки

№ |
$y'$ |
Стационарные $x$ |

2 |
$-2x$ |
$0$ |

3 |
$2x-4$ |
$2$ |

4 |
$3x(x+2)$ |
$-2;\ 0$ |

5 |
$3x^2-1$ |
$\pm\dfrac{1}{\sqrt3}$ |

6 |
$6(x-2)(x+1)$ |
$-1;\ 2$ |

7 |
$e^x(e^x-1)$ |
$0$ |

8 |
$3e^{2x}(4-e^x)$ |
$\ln 4$ |

9 |
$-\dfrac13\sin\dfrac{x}{3}$ |
$3\pi k,\ k\in\mathbb Z$ |

10 |
$\dfrac{2}{\cos^2 2x}$ |
нет |

11 |
$\cos 2x$ |
$\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z$ |

В № 10 производная нигде не равна нулю; в точках, где $\cos 2x=0$, она не существует, но это не стационарные точки.

12–18. Точки экстремума

№ |
$y'$ |
Ответ |

12 |
$5$ |
экстремумов нет, функция возрастает |

13 |
$-8x+24$ |
$x=3$ — максимум |

14 |
$3x(x+4)$ |
$x=-4$ — максимум; $x=0$ — минимум |

15 |
$3(2-x^2)$ |
$x=-\sqrt2$ — минимум; $x=\sqrt2$ — максимум |

16 |
$\dfrac13-\dfrac{2}{x^2}$ |
$x=-\sqrt6$ — максимум; $x=\sqrt6$ — минимум |

17 |
$\dfrac{12}{(3-2x)^2}$ |
экстремумов нет |

18 |
$\dfrac{x^2(4x-9)}{(2x-3)^2}$ |
$x=\dfrac94$ — минимум; $x=0$ — стационарная, но не экстремум |

Значения функции в экстремумах, если нужны координаты:

№ 13: $y(3)=21$;

№ 14: $y(-4)=32,\ y(0)=0$;

№ 15: $y(-\sqrt2)=-4\sqrt2,\ y(\sqrt2)=4\sqrt2$;

№ 16: $y(-\sqrt6)=-\dfrac{2\sqrt6}{3},\ y(\sqrt6)=\dfrac{2\sqrt6}{3}$;

№ 18: $y\left(\dfrac94\right)=\dfrac{243}{32}$.

Как проверять: например, в № 14 $y'=3x(x+4)$. На промежутке $(-\infty;-4)$ производная положительна, на $(-4;0)$ отрицательна, на $(0;+\infty)$ снова положительна. Значит, $x=-4$ — максимум, $x=0$ — минимум. В № 18 около $x=0$ производная отрицательна и слева, и справа, поэтому знак не меняется — экстремума нет.

№	\(y'\)	Стационарные \(x\)
2	\(-2x\)	\(0\)
3	\(2x-4\)	\(2\)
4	\(3x(x+2)\)	\(-2;\ 0\)
5	\(3x^2-1\)	\(\pm\dfrac{1}{\sqrt3}\)
6	\(6(x-2)(x+1)\)	\(-1;\ 2\)
7	\(e^x(e^x-1)\)	\(0\)
8	\(3e^{2x}(4-e^x)\)	\(\ln 4\)
9	\(-\dfrac13\sin\dfrac{x}{3}\)	\(3\pi k,\ k\in\mathbb Z\)
10	\(\dfrac{2}{\cos^2 2x}\)	нет
11	\(\cos 2x\)	\(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z\)

№	\(y'\)	Ответ
12	\(5\)	экстремумов нет, функция возрастает
13	\(-8x+24\)	\(x=3\) — максимум
14	\(3x(x+4)\)	\(x=-4\) — максимум; \(x=0\) — минимум
15	\(3(2-x^2)\)	\(x=-\sqrt2\) — минимум; \(x=\sqrt2\) — максимум
16	\(\dfrac13-\dfrac{2}{x^2}\)	\(x=-\sqrt6\) — максимум; \(x=\sqrt6\) — минимум
17	\(\dfrac{12}{(3-2x)^2}\)	экстремумов нет
18	\(\dfrac{x^2(4x-9)}{(2x-3)^2}\)	\(x=\dfrac94\) — минимум; \(x=0\) — стационарная, но не экстремум