203. Выделите полный квадрат:

№ 203. Кратко:

а) \(x^2+4x+5=(x+2)^2+1\);

б) \(2x^2-6x+5=2\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac12\);

в) \(x^2-8x+17=(x-4)^2+1\);

г) \(x^2+4x+4=(x+2)^2\);

д) \(x^2+5x+6=\left(x+\frac52\right)^2-\frac14\);

е) \(x^2-3x+2=\left(x-\frac32\right)^2-\frac14\).

Как это делать

Для трёхчлена вида \(x^2+px+q\) используют формулу:

\[ x^2+px+q=\left(x+\frac p2\right)^2+q-\frac{p^2}{4}. \]

То есть берём половину коэффициента при \(x\), возводим её в квадрат и компенсируем лишнее слагаемое.

Если перед \(x^2\) стоит не 1, сначала выносим этот коэффициент:

\[ ax^2+bx+c = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}. \]

Например, в пункте б:

\[ 2x^2-6x+5 =2(x^2-3x)+5 =2\left[\left(x-\frac32\right)^2-\frac94\right]+5 =2\left(x-\frac32\right)^2+\frac12. \]

Проверка

Раскроем скобки в пункте б:

\[ 2\left(x-\frac32\right)^2+\frac12 = 2\left(x^2-3x+\frac94\right)+\frac12 = 2x^2-6x+\frac92+\frac12 = 2x^2-6x+5. \]

Для пункта д:

\[ \left(x+\frac52\right)^2-\frac14 = x^2+5x+\frac{25}{4}-\frac14 = x^2+5x+6. \]

Всё сходится: чтобы получить полный квадрат, добавляем и сразу вычитаем нужное число.