ВАРИАНТ № 7. 1. Уравнение движения точки по прямой имеет вид: x=10+8t-2t² (м). Найти:
Реши
Сверь числа и знаки с фото.
ВАРИАНТ № 7
- Уравнение движения точки по прямой имеет вид: \(x=10+8t-2t^2\) (м). Найти:
- путь и перемещение точки за промежуток времени от \(t_1=1\) с до \(t_2=3\) с;
- среднюю скорость и среднее ускорение точки за этот промежуток;
- скорость и ускорение точки в момент времени \(t=1\) с.
Камень, брошенный горизонтально с высоты, высотой 20 м, упал на землю на расстоянии 14 м от основания вышки. Найти начальную скорость камня, нормальное и тангенциальное ускорения камня в момент его падения на землю и радиус кривизны траектории в этот момент.
Гиря массой 0,2 кг равномерно вращается на нити в вертикальной плоскости по окружности. На сколько сила натяжения нити будет больше при прохождении гири через нижнюю точку окружности, чем через верхнюю точку?
Орудие, имеющее массу ствола 500 кг, стреляет под углом 30° к горизонту. Масса снаряда 5 кг, его начальная скорость 450 м/с. При выстреле ствол откатывается на расстояние 40 см. Определить среднее значение силы торможения орудия.
Твердое тело начинает вращаться вокруг неподвижной оси из состояния покоя и в течение 4 с движется с угловым ускорением, изменяющимся в соответствии с графиком, приведенным слева. Построить графики зависимости угловой скорости и углового пути от времени и определить число оборотов, сделанных телом за 4 с. [Рисунок: график \(\varepsilon\) (рад/с²) от \(t\) (с): при \(0<t<2\) с \(\varepsilon=10\), при \(2<t<4\) с \(\varepsilon=-10\); в точках \(t=0,2,4\) — вертикальные участки.]
Сплошной цилиндр, расположенный горизонтально, может вращаться вокруг оси, совпадающей с осью цилиндра. Масса цилиндра 12 кг. На цилиндр намотан шнур, к которому привязали груз массой 1 кг. С каким ускорением будет опускаться груз? Определить силу натяжения шнура во время движения груза.
Шар скатывается без скольжения по наклонной плоскости, длина которой 10 м, угол наклона 30°. Определить скорость центра шара у основания плоскости.
Материальная точка массой 0,1 кг колеблется согласно уравнению \(x=5\sin(20t)\), (длина — в сантиметрах, время в секундах). Определить максимальное значение возвращающей силы и максимальное значение кинетической энергии точки.
Я решил все 8 заданий варианта № 7. Расчёты — при \(g=9{,}8\) м/с².
| № | Краткий ответ |
|---|---|
| 1 | Путь \(s=4\) м, перемещение \(\Delta x=0\); средняя путевая скорость \(2\) м/с, средняя скорость перемещения \(0\), среднее ускорение \(-4\) м/с²; \(v(1)=4\) м/с, \(a=-4\) м/с² |
| 2 | \(v_0\approx6{,}9\) м/с; \(a_n\approx3{,}2\) м/с²; \(a_\tau\approx9{,}3\) м/с²; \(R\approx1{,}36\cdot10^2\) м |
| 3 | Больше на \(\Delta T=3{,}9\) Н |
| 4 | \(F\approx9{,}5\) кН |
| 5 | \(\omega_{\max}=20\) рад/с; \(\varphi(4)=40\) рад; \(N\approx6{,}37\) оборота |
| 6 | \(a\approx1{,}4\) м/с²; \(T\approx8{,}4\) Н |
| 7 | \(v\approx8{,}4\) м/с |
| 8 | \(F_{\max}=2\) Н; \(E_{k,\max}=0{,}05\) Дж |
1. Кинематика точки
\[ x(t)=10+8t-2t^2,\qquad v(t)=8-4t,\qquad a=-4. \]
В моменты \(t_1=1\) с и \(t_2=3\) с:
\[ x(1)=16,\qquad x(3)=16, \]
поэтому перемещение \(\Delta x=0\).
Но в момент \(t=2\) с скорость \(v=0\), точка разворачивается. При \(t=2\) с:
\[ x(2)=10+16-8=18\text{ м}. \]
Значит, путь:
\[ s=(18-16)+(18-16)=4\text{ м}. \]
Средняя путевая скорость:
\[ v_{\text{путь}}=\frac{s}{\Delta t}=\frac{4}{2}=2\text{ м/с}. \]
Средняя скорость перемещения:
\[ v_{\text{перем}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=0. \]
Среднее ускорение:
\[ a_{\text{ср}}=\frac{v(3)-v(1)}{2}=\frac{-4-4}{2}=-4\text{ м/с}^2. \]
В момент \(t=1\) с:
\[ v(1)=4\text{ м/с},\qquad a=-4\text{ м/с}^2. \]
2. Камень, брошенный горизонтально
Время падения:
\[ t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot20}{9{,}8}}\approx2{,}02\text{ с}. \]
Начальная скорость:
\[ v_0=\frac{L}{t}=\frac{14}{2{,}02}\approx6{,}93\text{ м/с}. \]
При падении:
\[ v_y=gt\approx19{,}8\text{ м/с}, \]
\[ v=\sqrt{v_0^2+v_y^2}\approx21{,}0\text{ м/с}. \]
Угол скорости с горизонтом:
\[ \tan\theta=\frac{v_y}{v_0}\approx2{,}86,\qquad \theta\approx70{,}7^\circ. \]
Нормальное и тангенциальное ускорения — проекции \(g\):
\[ a_n=g\cos\theta=g\frac{v_0}{v}\approx3{,}24\text{ м/с}^2, \]
\[ a_\tau=g\sin\theta=g\frac{v_y}{v}\approx9{,}25\text{ м/с}^2. \]
Радиус кривизны:
\[ R=\frac{v^2}{a_n}\approx\frac{21^2}{3{,}24}\approx1{,}36\cdot10^2\text{ м}. \]
3. Вращение гири в вертикальной плоскости
Сказано «равномерно», значит модуль скорости \(v\) одинаков вверху и внизу.
В нижней точке:
\[ T_1-mg=\frac{mv^2}{R}. \]
В верхней точке:
\[ T_2+mg=\frac{mv^2}{R}. \]
Вычитаем:
\[ T_1-T_2=2mg. \]
\[ \Delta T=2\cdot0{,}2\cdot9{,}8=3{,}92\text{ Н}\approx3{,}9\text{ Н}. \]
При \(g=10\) м/с² получится \(4\) Н.
4. Откат орудия
По закону сохранения импульса в горизонтальном направлении:
\[ MV=mv\cos\alpha, \]
где \(M=500\) кг, \(m=5\) кг, \(v=450\) м/с, \(\alpha=30^\circ\).
\[ V=\frac{5\cdot450\cdot\cos30^\circ}{500}\approx3{,}90\text{ м/с}. \]
Кинетическая энергия отката:
\[ E_k=\frac{MV^2}{2}. \]
Работа силы торможения:
\[ F s=E_k. \]
\[ F=\frac{MV^2}{2s} =\frac{500\cdot3{,}90^2}{2\cdot0{,}4} \approx9{,}5\cdot10^3\text{ Н}\approx9{,}5\text{ кН}. \]
5. Вращение с переменным угловым ускорением
По графику:
- при \(0<t<2\) с: \(\varepsilon=10\) рад/с²;
- при \(2<t<4\) с: \(\varepsilon=-10\) рад/с².
Начальная угловая скорость \(\omega_0=0\).
При \(0\le t\le2\):
\[ \omega=10t,\qquad \varphi=5t^2. \]
К моменту \(t=2\) с:
\[ \omega(2)=20\text{ рад/с},\qquad \varphi(2)=20\text{ рад}. \]
При \(2\le t\le4\):
\[ \omega=20-10(t-2)=40-10t, \]
\[ \varphi=20+20(t-2)-5(t-2)^2. \]
При \(t=4\) с:
\[ \omega(4)=0,\qquad \varphi(4)=40\text{ рад}. \]
Число оборотов:
\[ N=\frac{\varphi(4)}{2\pi}=\frac{40}{2\pi}\approx6{,}37. \]
График \(\omega(t)\) — треугольник с максимумом \(20\) рад/с при \(t=2\) с. График \(\varphi(t)\) возрастает до \(40\) рад, при \(t=4\) с его наклон становится нулевым.
6. Цилиндр и груз на шнуре
Для груза:
\[ mg-T=ma. \]
Для цилиндра:
\[ TR=I\alpha, \]
где \(I=\frac12MR^2\), \(a=\alpha R\).
Тогда:
\[ T=\frac{Ma}{2}. \]
Подставляем:
\[ mg-\frac{Ma}{2}=ma, \]
\[ a=\frac{mg}{m+\frac M2} =\frac{1\cdot9{,}8}{1+\frac{12}{2}} =\frac{9{,}8}{7} \approx1{,}4\text{ м/с}^2. \]
Сила натяжения:
\[ T=\frac{12\cdot1{,}4}{2}\approx8{,}4\text{ Н}. \]
Проверка:
\[ T=m(g-a)=1(9{,}8-1{,}4)=8{,}4\text{ Н}. \]
7. Шар скатывается с наклонной плоскости
Высота:
\[ h=L\sin30^\circ=10\cdot0{,}5=5\text{ м}. \]
Для сплошного шара:
\[ I=\frac25mR^2,\qquad \omega=\frac vR. \]
Закон сохранения энергии:
\[ mgh=\frac12mv^2+\frac12I\omega^2. \]
\[ mgh=\frac12mv^2+\frac15mv^2=\frac7{10}mv^2. \]
\[ v=\sqrt{\frac{10}{7}gh} =\sqrt{\frac{10}{7}\cdot9{,}8\cdot5} =\sqrt{70} \approx8{,}37\text{ м/с}. \]
То есть \(v\approx8{,}4\) м/с.
8. Гармонические колебания
Уравнение:
\[ x=5\sin(20t)\text{ см}. \]
Значит:
\[ A=5\text{ см}=0{,}05\text{ м},\qquad \omega=20\text{ рад/с}. \]
Максимальная возвращающая сила:
\[ F_{\max}=m\omega^2A. \]
\[ F_{\max}=0{,}1\cdot20^2\cdot0{,}05=2\text{ Н}. \]
Максимальная скорость:
\[ v_{\max}=\omega A=20\cdot0{,}05=1\text{ м/с}. \]
Максимальная кинетическая энергия:
\[ E_{k,\max}=\frac12mv_{\max}^2 =\frac12\cdot0{,}1\cdot1^2=0{,}05\text{ Дж}. \]
Если преподаватель берёт \(g=10\) м/с², то в №2 будет \(v_0=7\) м/с, в №3 \(\Delta T=4\) Н, в №6 \(a\approx1{,}43\) м/с², \(T\approx8{,}6\) Н, в №7 \(v\approx8{,}45\) м/с.
