Равенства треугольника

Кратко

Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением — тогда у них равны все соответственные стороны и все соответственные углы. Проверять это «по определению» (сравнивать все 6 элементов) не нужно: есть три признака равенства, по которым достаточно трёх пар равных элементов.

Три признака равенства треугольников

I признак (по двум сторонам и углу между ними) Если \(AB = A_1B_1\), \(AC = A_1C_1\) и \(\angle A = \angle A_1\), то \[ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1. \]

II признак (по стороне и двум прилежащим углам) Если \(AC = A_1C_1\), \(\angle A = \angle A_1\), \(\angle C = \angle C_1\), то \[ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1. \]

III признак (по трём сторонам) Если \(AB = A_1B_1\), \(BC = B_1C_1\), \(AC = A_1C_1\), то \[ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1. \]

Главные «ловушки»

1. В I признаке угол обязан лежать между теми сторонами, которые сравниваем. Равенства «две стороны и угол не между ними» недостаточно — такой случай признаком не является.
2. Во II признаке оба угла должны прилежать к той стороне, которая дана.
3. Равенство трёх углов не даёт равенства треугольников — это признак подобия: треугольники могут быть одинаковой формы, но разного размера.
4. Порядок букв в записи равенства важен: \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\) означает \(A \leftrightarrow A_1\), \(B \leftrightarrow B_1\), \(C \leftrightarrow C_1\). Если вершины перепутать, «равными» окажутся несоответственные элементы.

Как оформлять решение

1. Выписать из условия (или доказать по ходу) три пары равных элементов, каждый раз указывая причину: «дано», «общая сторона», «вертикальные углы», «биссектриса делит угол пополам» и т. п.
2. Проверить, что эти три элемента складываются ровно в один из признаков.
3. Записать вывод со ссылкой на признак и верным порядком вершин.

Пример. Дано: \(AB = A_1B_1\), \(AC = A_1C_1\), \(\angle A = \angle A_1\). Доказать: \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\).

Доказательство. Стороны \(AB\) и \(AC\) выходят из вершины \(A\), и угол \(\angle A\) лежит между ними; то же верно для \(A_1\). Значит, выполнены условия I признака, поэтому \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\) по двум сторонам и углу между ними.

Проверка результата. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы — можете мысленно проверить: раз \(AB = A_1B_1\), то и \(\angle C = \angle C_1\), а из \(AC = A_1C_1\) следует \(\angle B = \angle B_1\). Если какой-то из этих выводов противоречит чертежу, значит, вершины сопоставлены неверно.