а) √81·100·4; б) √0,01·81·0,25; в) √5 1/16·2 34/81

Кратко: а) 180; б) 0,45; в) 3,5 (то есть \(\frac{7}{2}\)).

Принцип. Для неотрицательных чисел корень из произведения равен произведению корней: \[ \sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b},\qquad \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}. \] Поэтому удобно искать в каждом множителе «полный квадрат»: \(81=9^2,\;100=10^2,\;4=2^2\).

а) \[ \sqrt{81\cdot 100\cdot 4}=\sqrt{81}\cdot\sqrt{100}\cdot\sqrt{4}=9\cdot 10\cdot 2=180. \]

б) Здесь те же идеи, только с десятичными дробями: \(0{,}01=0{,}1^2,\;81=9^2,\;0{,}25=0{,}5^2\): \[ \sqrt{0{,}01\cdot 81\cdot 0{,}25}=0{,}1\cdot 9\cdot 0{,}5=0{,}45. \]

в) Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби: \[ 5\frac{1}{16}=\frac{5\cdot 16+1}{16}=\frac{81}{16},\qquad 2\frac{34}{81}=\frac{2\cdot 81+34}{81}=\frac{196}{81}. \] Перемножаем — \(81\) сокращается: \[ \frac{81}{16}\cdot\frac{196}{81}=\frac{196}{16}=\frac{49}{4}. \] Теперь корень: \(\frac{49}{4}=\frac{7^2}{2^2}\), значит \[ \sqrt{\frac{49}{4}}=\frac{7}{2}=3{,}5. \]

Проверка (обратным действием — возведением в квадрат): \(180^2=32\,400=81\cdot100\cdot4\); \(0{,}45^2=0{,}2025=0{,}01\cdot81\cdot0{,}25\); \(3{,}5^2=12{,}25=\frac{196}{16}\). Всё сходится.

Как действовать в похожем задании: разложи каждый множитель на квадрат числа (или переведи смешанные числа в дроби), сократи произведение, затем извлеки корень отдельно из числителя и знаменателя.