а) √81·100·4; б) √0,01·81·0,25.

Краткий ответ: \[ \text{а) } \sqrt{81\cdot100\cdot4}=180;\qquad \text{б) } \sqrt{0{,}01\cdot81\cdot0{,}25}=0{,}45; \] \[ \sqrt{5\frac{1}{16}\cdot2\frac{34}{81}}=3{,}5. \]

Принцип. Корень из произведения равен произведению корней: \[ \sqrt{a\cdot b}=\sqrt a\cdot\sqrt b \quad (a\ge0,\ b\ge0). \] Поэтому под корнем удобно искать точные квадраты: \(81=9^2\), \(100=10^2\), \(4=2^2\), \(0{,}01=0{,}1^2\), \(0{,}25=0{,}5^2\). Смешанные числа сначала переводим в неправильные дроби.

По шагам.

1. \[ \sqrt{81\cdot100\cdot4}=\sqrt{81}\cdot\sqrt{100}\cdot\sqrt4=9\cdot10\cdot2=180. \]

2. \[ \sqrt{0{,}01\cdot81\cdot0{,}25}=\sqrt{0{,}01}\cdot\sqrt{81}\cdot\sqrt{0{,}25}=0{,}1\cdot9\cdot0{,}5=0{,}45. \] Если с десятичными неудобно, можно перейти к дробям: \(0{,}01=\frac{1}{100}\), \(0{,}25=\frac14\), тогда \[ \sqrt{\frac{1}{100}\cdot81\cdot\frac14}=\sqrt{\frac{81}{400}}=\frac{9}{20}=0{,}45. \]

3. \[ 5\frac{1}{16}=\frac{81}{16},\qquad 2\frac{34}{81}=\frac{196}{81}. \] Под корнем: \[ \frac{81}{16}\cdot\frac{196}{81}=\frac{196}{16}=\frac{49}{4}, \] поэтому \[ \sqrt{\frac{49}{4}}=\frac{7}{2}=3{,}5. \]

Проверка. Возводим ответы в квадрат: \(180^2=32400=81\cdot100\cdot4\); \(0{,}45^2=0{,}2025=0{,}01\cdot81\cdot0{,}25\); \(3{,}5^2=12{,}25=5\frac{1}{16}\cdot2\frac{34}{81}\). Всё сходится.

Что запомнить. Правило \(\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\) работает для умножения и деления, но не для сложения: \(\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b\). Если под корнем не все множители — точные квадраты, выносим квадраты: \(\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2\).