Вычислите: а) √81 · 100 · 4; б) √0,01 · 81 · 0,25; в) √5 1/16 · 2 34/81

Краткий ответ: а) \(180\); б) \(0{,}45\); в) \(3{,}5\) (или \(\frac{7}{2}\)).

Главное правило

Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней:

\[ \sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} \]

Поэтому каждый множитель удобно представлять полным квадратом — тогда корень извлекается точно.

а) \(\sqrt{81\cdot100\cdot4}\)

\[ \sqrt{81}\cdot\sqrt{100}\cdot\sqrt{4}=9\cdot10\cdot2=180 \]

б) \(\sqrt{0{,}01\cdot81\cdot0{,}25}\)

Здесь \(0{,}01=(0{,}1)^2\), \(0{,}25=(0{,}5)^2\):

\[ 0{,}1\cdot9\cdot0{,}5=0{,}45 \]

в) \(\sqrt{5\frac{1}{16}\cdot2\frac{34}{81}}\)

Смешанные числа переводим в неправильные дроби и ищем полные квадраты:

\[ 5\frac{1}{16}=\frac{81}{16}=\left(\frac{9}{4}\right)^2,\qquad 2\frac{34}{81}=\frac{196}{81}=\left(\frac{14}{9}\right)^2 \]

\[ \sqrt{\frac{81}{16}\cdot\frac{196}{81}} =\sqrt{\frac{196}{16}} =\sqrt{\frac{49}{4}}=\frac{7}{2}=3{,}5 \]

Проверка

• \(180^2=32400=81\cdot100\cdot4\) ✔
• \(0{,}45^2=0{,}2025=0{,}01\cdot81\cdot0{,}25\) ✔
• \(\left(\frac{7}{2}\right)^2=\frac{49}{4}=12{,}25\), а \(\frac{81}{16}\cdot\frac{196}{81}=\frac{196}{16}=12{,}25\) ✔

Приём для похожих заданий: разложи каждый множитель на квадрат числа (или дроби) и вынеси корни по отдельности; в пункте в) сначала избавься от смешанных чисел.