четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Основание ABCD является прямоугольной трапецией с прямыми углами A и D. Отрезок SD перпендикулярен плоскости основания. Выберите из…
Четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Основание ABCD является прямоугольной трапецией с прямыми углами A и D. Отрезок SD перпендикулярен плоскости основания. Выберите из предложенного списка пары перпендикулярных прямых. 1) прямые SA и АВ 2) прямые SA и DB 3) прямые AB и SC 4) прямые SD и CB
Краткий ответ: перпендикулярны пары 1 и 4:
\(SA\perp AB\) и \(SD\perp CB\).
Почему:
\(SD\perp (ABCD)\), значит \(SD\perp AB\). Кроме того, по условию \(AD\perp AB\). Прямые \(SD\) и \(AD\) лежат в плоскости \(SAD\), поэтому \(AB\) перпендикулярна плоскости \(SAD\). Но \(SA\) лежит в этой плоскости, следовательно, \[ AB\perp SA. \]
\(SA\) и \(DB\) в общем случае не перпендикулярны. Это удобно проверить координатами: \[ D(0,0,0),\quad A(a,0,0),\quad B(a,b,0),\quad C(0,c,0),\quad S(0,0,h). \] Тогда \[ \overrightarrow{SA}=(a,0,-h),\qquad \overrightarrow{DB}=(a,b,0), \] и их скалярное произведение равно \(a^2\neq0\). Значит, угол не прямой.
Так как \(AB\parallel CD\), угол между \(AB\) и \(SC\) такой же, как между \(CD\) и \(SC\). В прямоугольном треугольнике \(SCD\) угол при вершине \(C\) не прямой, поэтому \[ AB\not\perp SC. \]
\(SD\perp (ABCD)\), а прямая \(CB\) лежит в плоскости основания. Поэтому \(SD\) перпендикулярна любой прямой плоскости основания, в том числе \(CB\): \[ SD\perp CB. \] В стереометрии прямые могут быть перпендикулярны и тогда, когда они скрещиваются: важен угол между их направлениями.
Ответ: 1, 4.
Обсуждение
4 сообщенияРеши так чтоб учитель понял что решала я сама
Реши так чтоб учитель понял что решала я сама
Не возьмусь маскировать готовое решение под твоё: на разборе это обычно быстро видно, а риск получить незаслуженную оценку тебе же не помогает. Зато дам каркас, по которому ты сама соберёшь решение.
\(SD\perp(ABCD)\), значит \(SD\) перпендикулярна любой прямой в плоскости основания, в том числе \(CB\). Отсюда пара 4 — перпендикулярна.
По условию \(AB\perp AD\), а также \(AB\perp SD\). Прямые \(AD\) и \(SD\) пересекаются в точке \(D\), поэтому \(AB\perp(SAD)\). Прямая \(SA\) лежит в этой плоскости, значит \(AB\perp SA\). Пара 1 — перпендикулярна.
Для \(SA\) и \(DB\) удобно взять координаты, например: \[ D(0,0,0),\ A(1,0,0),\ B(1,1,0),\ C(0,2,0),\ S(0,0,1). \] Тогда \[ \overrightarrow{SA}=(1,0,-1),\quad \overrightarrow{DB}=(1,1,0), \] и их скалярное произведение равно \(1\ne0\). Значит, \(SA\) и \(DB\) не перпендикулярны.
Так как \(AB\parallel CD\), угол между \(AB\) и \(SC\) такой же, как между \(CD\) и \(SC\). В прямоугольном треугольнике \(SCD\) этот угол острый, поэтому \(AB\not\perp SC\).
Ответ: 1 и 4. Напиши черновик своими словами — проверю формулировки.
Ответ: 1 и 4.
Вот короткое школьное решение — перепиши его своими словами.
Так как в основании трапеция с прямыми углами \(A\) и \(D\), то \[ AB\parallel CD,\qquad AD\perp AB,\qquad AD\perp CD. \] Кроме того, по условию \[ SD\perp (ABCD). \]
1) \(SA\perp AB\).
Имеем \(SD\perp AB\) и \(AD\perp AB\). Значит, прямая \(AB\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(SD\) и \(AD\) плоскости \(SAD\), поэтому
\[
AB\perp (SAD).
\]
Но \(SA\) лежит в плоскости \(SAD\), следовательно,
\[
AB\perp SA.
\]
Пара 1 подходит.
2) \(SA\) и \(DB\).
Проекция \(SA\) на плоскость основания — это \(AD\). Если бы \(SA\perp DB\), то по теореме о трёх перпендикулярах было бы \(AD\perp DB\). Но \(AD\perp AB\), а прямая \(DB\) не параллельна \(AB\), значит, \(AD\) не перпендикулярна \(DB\). Пара 2 не подходит.
3) \(AB\) и \(SC\).
Так как \(AB\parallel CD\), угол между \(AB\) и \(SC\) равен углу между \(CD\) и \(SC\), то есть углу \(SCD\). Треугольник \(SCD\) прямоугольный с прямым углом при \(D\), поэтому угол \(SCD\) острый, а не прямой. Пара 3 не подходит.
4) \(SD\perp CB\).
Прямая \(SD\) перпендикулярна плоскости основания, а \(CB\) лежит в этой плоскости. Поэтому угол между \(SD\) и \(CB\) равен \(90^\circ\):
\[
SD\perp CB.
\]
В стереометрии это возможно и для скрещивающихся прямых. Пара 4 подходит.
Итог: перпендикулярны прямые в пунктах 1 и 4.
