№2 а) √2 / √50; б) √75 / √192; в) √63 · √7; г) √10 · √90

Краткий ответ

№2 а) \(\frac{1}{5}\); б) \(\frac{5}{8}\); в) \(21\); г) \(30\);
последний пункт: \(\sqrt{25^2-24^2}=7\).

№3 \(\sqrt{675}=15\sqrt3\);
\(\sqrt{108}=6\sqrt3\);
\(\sqrt{96z^5}=4z^2\sqrt{6z}\) при \(z\ge0\);
\(\sqrt{50t^{10}}=5|t|^5\sqrt2\). Если в классе считают \(t\ge0\), то \(5t^5\sqrt2\).

№4 \(\sqrt z-3\sqrt z+9\sqrt z=7\sqrt z\);
\(8\sqrt c+\sqrt d-\sqrt d-4\sqrt c=4\sqrt c\);
\(\sqrt{125}+7\sqrt5=12\sqrt5\);
\(\sqrt{32}-\sqrt{128}=-4\sqrt2\).

Домашнее задание \(\sqrt{18}=3\sqrt2\);
\(\sqrt{48}=4\sqrt3\);
\(\sqrt c+8\sqrt c-9\sqrt c=0\);
\(\sqrt{27}-\sqrt{48}+\sqrt{75}=4\sqrt3\);
\(\sqrt a+6\sqrt a-7\sqrt a=0\).

Как решать

Используем свойства корней: \[ \sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab},\qquad \frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac ab}. \]

№2 \[ \frac{\sqrt2}{\sqrt{50}}=\sqrt{\frac{2}{50}}=\sqrt{\frac1{25}}=\frac15. \]

\[ \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{192}}=\sqrt{\frac{75}{192}}=\sqrt{\frac{25}{64}}=\frac58. \]

\[ \sqrt{63}\cdot\sqrt7=\sqrt{63\cdot7}=\sqrt{441}=21. \]

\[ \sqrt{10}\cdot\sqrt{90}=\sqrt{900}=30. \]

Последний корень удобно решить через разность квадратов: \[ 25^2-24^2=(25-24)(25+24)=1\cdot49=49, \] поэтому \[ \sqrt{25^2-24^2}=\sqrt{49}=7. \]

№3. Выносим из-под корня полный квадрат: \[ 675=225\cdot3=15^2\cdot3, \] поэтому \(\sqrt{675}=15\sqrt3\).

\[ 108=36\cdot3=6^2\cdot3, \] поэтому \(\sqrt{108}=6\sqrt3\).

\[ 96z^5=16z^4\cdot6z=(4z^2)^2\cdot6z, \] поэтому \[ \sqrt{96z^5}=4z^2\sqrt{6z}. \] Здесь \(z\ge0\), иначе корень не определён.

\[ 50t^{10}=25\cdot2\cdot t^{10}, \] а \(\sqrt{t^{10}}=|t^5|\). Поэтому \[ \sqrt{50t^{10}}=5|t|^5\sqrt2. \]

№4. Слагаемые с одинаковым корнем складываются как подобные: \[ \sqrt z-3\sqrt z+9\sqrt z=(1-3+9)\sqrt z=7\sqrt z. \]

\[ 8\sqrt c+\sqrt d-\sqrt d-4\sqrt c=(8-4)\sqrt c=4\sqrt c. \]

Перед сложением упрощаем корни: \[ \sqrt{125}=5\sqrt5, \] поэтому \[ \sqrt{125}+7\sqrt5=5\sqrt5+7\sqrt5=12\sqrt5. \]

\[ \sqrt{32}=4\sqrt2,\qquad \sqrt{128}=8\sqrt2, \] поэтому \[ \sqrt{32}-\sqrt{128}=4\sqrt2-8\sqrt2=-4\sqrt2. \]

Домашнее задание \[ \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt2, \] \[ \sqrt{48}=\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt3. \]

\[ \sqrt c+8\sqrt c-9\sqrt c=(1+8-9)\sqrt c=0. \]

\[ \sqrt{27}=3\sqrt3,\quad \sqrt{48}=4\sqrt3,\quad \sqrt{75}=5\sqrt3, \] поэтому \[ \sqrt{27}-\sqrt{48}+\sqrt{75} =3\sqrt3-4\sqrt3+5\sqrt3=4\sqrt3. \]

\[ \sqrt a+6\sqrt a-7\sqrt a=(1+6-7)\sqrt a=0. \]