Все темы тригонометрии за 9 класс
Кратко: тригонометрия в 9 классе — это связи между углами и сторонами треугольника. Главные темы: определения \(\sin,\cos,\mathrm{tg},\mathrm{ctg}\); основное тождество и табличные значения; углы от \(0^\circ\) до \(180^\circ\), радианы и формулы приведения; теоремы синусов и косинусов; площадь через синус. Формулы сложения обычно изучают в 10 классе.
1. Определения в прямоугольном треугольнике
Пусть \(c\) — гипотенуза, \(a\) — катет против угла \(\alpha\), \(b\) — прилежащий катет. Тогда:
\[ \sin\alpha=\frac{a}{c},\quad \cos\alpha=\frac{b}{c},\quad \mathrm{tg}\,\alpha=\frac{a}{b},\quad \mathrm{ctg}\,\alpha=\frac{b}{a}. \]
Принцип: важен не размер треугольника, а отношение сторон. Поэтому по углу можно находить стороны, а по сторонам — угол.
2. Основные связи и табличные углы
\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1, \]
\[ \mathrm{tg}\,\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\quad \mathrm{ctg}\,\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha},\quad \mathrm{tg}\,\alpha\cdot\mathrm{ctg}\,\alpha=1. \]
| \(\alpha\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) |
|---|---|---|---|
| \(\sin\alpha\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) |
| \(\cos\alpha\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) |
| \(\mathrm{tg}\,\alpha\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) |
| \(\mathrm{ctg}\,\alpha\) | \(\sqrt{3}\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) |
Эти значения лучше помнить: они постоянно встречаются в задачах.
3. Углы от \(0^\circ\) до \(180^\circ\)
На единичной полуокружности точка \(M\) имеет координаты \((\cos\alpha;\sin\alpha)\). Поэтому:
- при \(0^\circ<\alpha<90^\circ\): \(\sin\alpha>0,\ \cos\alpha>0\);
- при \(90^\circ<\alpha<180^\circ\): \(\sin\alpha>0,\ \cos\alpha<0,\ \mathrm{tg}\,\alpha<0\).
Радианы: \(180^\circ=\pi\), \(90^\circ=\frac{\pi}{2}\).
Формулы приведения, если они есть в вашей программе:
\[ \sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\quad \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha,\quad \mathrm{tg}(180^\circ-\alpha)=-\mathrm{tg}\,\alpha. \]
4. Теоремы синусов и косинусов
Для треугольника \(ABC\) со сторонами \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\):
\[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R, \]
где \(R\) — радиус описанной окружности.
\[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C. \]
Теорема косинусов — обобщение теоремы Пифагора: если \(C=90^\circ\), то \(\cos C=0\), и остаётся \(c^2=a^2+b^2\).
5. Площадь через синус
Если \(C\) — угол между сторонами \(a\) и \(b\), то:
\[ S=\frac{1}{2}ab\sin C. \]
Синус здесь фактически заменяет высоту: \(h_a=b\sin C\).
6. Как действовать в похожей задаче
- Отметь, что известно: стороны, углы, прямоугольный ли треугольник.
- Если треугольник прямоугольный — используй определения \(\sin,\cos,\mathrm{tg}\) и теорему Пифагора.
- Если треугольник произвольный:
- известны две стороны и угол между ними или три стороны — теорема косинусов;
- известны сторона и противолежащий угол — теорема синусов.
- Проверь ответ: большая сторона должна лежать против большего угла, а \(\sin\alpha\) и \(\cos\alpha\) не выходят за пределы \([-1;1]\).
Проверка
Возьмём прямоугольный треугольник с катетами \(3\) и \(4\) и гипотенузой \(5\). Для угла \(\alpha\) против катета \(3\):
\[ \sin\alpha=\frac{3}{5},\quad \cos\alpha=\frac{4}{5}. \]
Тогда
\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1. \]
По теореме косинусов для прямого угла:
\[ 5^2=3^2+4^2-2\cdot3\cdot4\cdot\cos 90^\circ=25. \]
Всё сходится.
Разные учебники немного отличаются: например, формулы приведения могут встречаться в 9 или 10 классе. Если нужна конкретная задача — пришли её, разберу по шагам.
