19. На рисунке 67 изображён график функции y = g(x), являющейся производной функции y = f(x). С помощью графика найти:

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
19. [6] На рисунке 67 изображён график функции $y = g(x)$, являющейся производной функции $y = f(x)$. С помощью графика найти:

1. точки экстремума функции $y = f(x)$;

2. промежутки возрастания и убывания функции $y = f(x)$.

[Рисунок: система координат с осями $x$ и $y$; на оси $x$ отмечены значения $-6$, $-4$, $-2$, $0$, $1$, $3$, $5$, $6$. Непрерывная кривая $y = g(x)$ пересекает ось $x$ в точках $x=-5$, $-2$, $0$, $3$, $5$; между ними кривая расположена поочерёдно над и под осью $x$.]
Рис. 67

Найти точки экстремума и значения функции в этих точках (20—27).
20. [4] $y = 3x - 5x^{2}$.
21. [5] $y = x^{3} - 9x$.
22. [4] $y = 8x^{3} - 3x^{4} - 7$.
23. [6] $y = 3x^{4} - 4x^{3} - 12x^{2} + 19$.
24. [5] $y = \sqrt{2x + 5} - \frac{x}{5}$.
25. [5] $y = \sin 3x$.
26. [4] $y = 3e^{2x} - 2e^{3x}$.
27. [5] $y = x^{3}e^{x}$.

Answer

На фото два блока заданий. Ниже — подробно №19 и кратко №20–27.

№19

Ответ:

точки экстремума: $x=-5$ — максимум, $x=-2$ — минимум, $x=0$ — максимум, $x=3$ — минимум, $x=5$ — максимум;

промежутки возрастания: $[-6;-5]$, $[-2;0]$, $[3;5]$;

промежутки убывания: $[-5;-2]$, $[0;3]$, $[5;6]$.

Почему так.
Дано $g(x)=f'(x)$. Поэтому знак $g(x)$ — это знак производной функции $f(x)$:

$g>0$ — функция $f$ возрастает;

$g<0$ — функция $f$ убывает;

в нулях $g$, где знак меняется, у $f$ экстремум:
$+\to-$ — максимум,

$-\to+$ — минимум.

По графику $g$:
$$
\begin{array}{c|cccccc}
x & (-6;-5) & (-5;-2) & (-2;0) & (0;3) & (3;5) & (5;6)\
g=f' & + & - & + & - & + & -
\end{array}
$$

Отсюда и получаются точки экстремума и промежутки монотонности. На концах промежутков в точках экстремума производная равна нулю, но знак её как раз меняется.

Проверка: например, при переходе через $x=-5$ график $g$ уходит с положительной части под ось $x$, значит $f$ меняет возрастание на убывание — это максимум. Аналогично проверяются остальные точки.

№20–27

Общий приём: найти $y'$, решить $y'=0$, проверить смену знака производной и вычислить значение функции в точке экстремума.

20. $y=3x-5x^2$, $y'=3-10x$.
$x=0{,}3$ — максимум, $y_{\max}=0{,}45$.

21. $y=x^3-9x$, $y'=3x^2-9$.
$x=-\sqrt3$ — максимум, $y=6\sqrt3$;
$x=\sqrt3$ — минимум, $y=-6\sqrt3$.

22. $y=8x^3-3x^4-7$, $y'=12x^2(2-x)$.
$x=2$ — максимум, $y=9$.
В $x=0$ производная нулевая, но знак не меняется — это не экстремум.

23. $y=3x^4-4x^3-12x^2+19$,
$y'=12x(x-2)(x+1)$.
$x=-1$ — минимум, $y=14$;
$x=0$ — максимум, $y=19$;
$x=2$ — минимум, $y=-13$.

24. $y=\sqrt{2x+5}-\frac{x}{5}$, область $x\ge -2{,}5$.
$y'=\frac{1}{\sqrt{2x+5}}-\frac15$.
$x=10$ — максимум, $y=3$. Минимума внутри области определения нет.

25. $y=\sin 3x$, $y'=3\cos 3x$.
Максимумы: $x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3}$, $y=1$;
минимумы: $x=\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi k}{3}$, $y=-1$, где $k\in\mathbb Z$.

26. $y=3e^{2x}-2e^{3x}$, $y'=6e^{2x}(1-e^x)$.
$x=0$ — максимум, $y=1$. Минимума нет.

27. $y=x^3e^x$, $y'=x^2e^x(x+3)$.
$x=-3$ — минимум, $y=-\frac{27}{e^3}$.
В $x=0$ производная нулевая, но знак не меняется — экстремума нет.