Тригонометрия 1. 1. Найдите tg α, если (7 sin α − 2 cos α)/(4 sin α − 9 cos α) = 2.

Краткие ответы:

1. \(16\)
2. \(-0{,}7\)
3. \(-8\)
4. \(92\) — выражение после №3
5. \(-2\)
6. \(2\)

Как решать

1. Делим числитель и знаменатель на \(\cos\alpha\). Так можно, потому что при \(\cos\alpha=0\) отношение было бы равно \(7/4\), а не \(2\). Пусть \(t=\mathrm{tg}\,\alpha\): \[ \frac{7t-2}{4t-9}=2. \] Тогда \[ 7t-2=2(4t-9)=8t-18, \] откуда \(t=16\).

2. Используем периодичность и формулы приведения: \[ \sin(\alpha-2\pi)=\sin\alpha, \qquad \cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\sin\alpha. \] Поэтому выражение равно \[ 5\sin\alpha+2\sin\alpha=7\sin\alpha. \] При \(\sin\alpha=-0{,}1\): \[ 7\cdot(-0{,}1)=-0{,}7. \]

3. Так как \(422^\circ=360^\circ+62^\circ\), то \[ \sin422^\circ=\sin62^\circ. \] Значит, \[ \frac{-8\sin422^\circ}{\sin62^\circ}=-8. \]

4. Приводим углы: \[ \sin\left(-\frac{23\pi}{6}\right) =\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac12, \] \[ \cos\left(\frac{23\pi}{3}\right) =\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\frac12. \] Тогда знаменатель равен \(\frac12\cdot\frac12=\frac14\), а всё выражение: \[ \frac{23}{1/4}=92. \]

5. Решаем: \[ \cos\frac{\pi(x+1)}4=\frac{\sqrt2}{2}. \] Значит, \[ \frac{\pi(x+1)}4=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. \] Отсюда \[ x+1=\pm1+8k, \] то есть \[ x=8k \quad \text{или} \quad x=-2+8k. \] Наибольший отрицательный корень — это \(-2\).
   Проверка: при \(x=-2\) аргумент косинуса равен \(-\pi/4\), а \(\cos(-\pi/4)=\sqrt2/2\).

6. Для уравнения \[ \sin\frac{\pi(x-3)}4=-\frac{\sqrt2}{2} \] получаем две серии: \[ \frac{\pi(x-3)}4=-\frac{\pi}{4}+2\pi k \] и \[ \frac{\pi(x-3)}4=\frac{5\pi}{4}+2\pi k. \] Отсюда: \[ x=2+8k \quad \text{или} \quad x=8+8k. \] При \(k=0\) это \(2\) и \(8\); наименьший положительный корень равен \(2\).
   Проверка: при \(x=2\) аргумент синуса равен \(-\pi/4\), поэтому значение равно \(-\sqrt2/2\).