3.4.3.6 Решить неравенства методом интервалов

На фото запись перевёрнута. Я прочитал задание так: «Решить неравенства методом интервалов». Знак в первом неравенстве виден нечётко, поэтому решаю для \(\ge 0\); если у тебя \(\le 0\), ниже показано, как изменится ответ.

1. \(\frac{(x+2)(x+5)}{(x-4)(x+1)(x+3)} \ge 0\)

Ответ: \[ x\in[-5,-3)\cup[-2,-1)\cup(4,+\infty). \]

Ключевые шаги:

1. Нули числителя: \(x=-5\), \(x=-2\). В них дробь равна нулю, поэтому точки могут входить в ответ.
2. Нули знаменателя: \(x=4\), \(x=-1\), \(x=-3\). В них дробь не определена — точки выколотые.
3. На числовой прямой отмечаем точки в порядке возрастания: \[ -5,\ -3,\ -2,\ -1,\ 4. \]
4. На крайнем правом промежутке \((4,+\infty)\) берём \(x=5\): \[ f(5)=\frac{7\cdot 10}{1\cdot 6\cdot 8}>0, \] значит там знак «+».
5. При переходе через каждую простую точку знак меняется. Получаем:

• \((-\infty,-5)\) — минус;
• \((-5,-3)\) — плюс;
• \((-3,-2)\) — минус;
• \((-2,-1)\) — плюс;
• \((-1,4)\) — минус;
• \((4,+\infty)\) — плюс.

6. Для \(\ge 0\) выбираем промежутки со знаком «+» и включаем нули числителя \(-5\) и \(-2\), а нули знаменателя \(-3,-1,4\) выкалываем.

Проверка: \(f(-4)=\frac{(-2)\cdot 1}{(-8)\cdot(-3)\cdot(-1)}=\frac{1}{12}>0\); \(f(0)=\frac{2\cdot 5}{(-4)\cdot 1\cdot 3}<0\); \(f(5)>0\). Всё сходится.

Если в тетради стоит знак \(\le 0\), то ответ — промежутки со знаком «−»: \[ (-\infty,-5]\cup(-3,-2]\cup(-1,4). \]

2. \(\frac{x+1}{2x-2} \ge 0\)

\[ \frac{x+1}{2(x-1)}\ge 0. \] Нуль числителя \(x=-1\) входит, нуль знаменателя \(x=1\) выколот. Знаки: на \((1,+\infty)\) «+», на \((-1,1)\) «−», на \((-\infty,-1)\) «+». Поэтому: \[ x\in(-\infty,-1]\cup(1,+\infty). \] Если здесь знак \(\le 0\), то ответ \([-1,1)\).