Чыгар
Сверь числа и знаки с фото.
Функция у = 3х² – 5х + 2 Функция [неразборчиво] [неразборчиво] у(1) [неразборчиво] у(–1)
Коротко. Для функции \(y = 3x^2 - 5x + 2\) (парабола, ветви вверх):
- вершина: \(\left(\dfrac{5}{6};\, -\dfrac{1}{12}\right)\), ось симметрии \(x = \dfrac{5}{6}\);
- нули: \(x = \dfrac{2}{3}\) и \(x = 1\); пересечение с осью \(Oy\): \((0; 2)\);
- убывает при \(x \le \dfrac{5}{6}\), возрастает при \(x \ge \dfrac{5}{6}\);
- наименьшее значение \(-\dfrac{1}{12}\), область значений \(\left[-\dfrac{1}{12}; +\infty\right)\);
- \(y(1) = 0\), \(y(-1) = 10\). Если нужен отрезок \([-1; 1]\), то наибольшее значение \(10\) (при \(x = -1\)), наименьшее \(-\dfrac{1}{12}\) (при \(x = \dfrac{5}{6}\)).
Ключевые шаги.
Выписываем коэффициенты: \(a = 3\), \(b = -5\), \(c = 2\). Так как \(a > 0\), ветви направлены вверх, поэтому у функции есть минимум, но нет максимума на всей области определения.
Вершина. Абсцисса вычисляется по формуле \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\): \[x_0 = \frac{5}{2\cdot 3} = \frac{5}{6}.\] Ординату находим подстановкой: \[y_0 = 3\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^2 - 5\cdot\frac{5}{6} + 2 = \frac{25}{12} - \frac{50}{12} + \frac{24}{12} = -\frac{1}{12}.\] Поэтому \(y \ge -\dfrac{1}{12}\) при всех \(x\) — это и есть область значений.
Нули. Решаем \(3x^2 - 5x + 2 = 0\): \[D = (-5)^2 - 4\cdot 3\cdot 2 = 25 - 24 = 1,\qquad x_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{6},\] то есть \(x_1 = 1\), \(x_2 = \dfrac{2}{3}\).
Промежутки. Левее вершины функция убывает, правее — возрастает. Между нулями \(\left(\dfrac{2}{3}; 1\right)\) парабола лежит ниже оси \(Ox\) (\(y < 0\)), вне этого промежутка — выше (\(y > 0\)).
Значения в точках: \[y(1) = 3 - 5 + 2 = 0,\qquad y(-1) = 3 + 5 + 2 = 10.\] На отрезке \([-1; 1]\) вершина \(x = \dfrac{5}{6}\) лежит внутри, значит минимум там равен \(-\dfrac{1}{12}\), а максимум — на конце \(x = -1\): он равен \(10\) (в точке \(x = 1\) значение \(0\), оно меньше).
Проверка. Разложение \(3x^2 - 5x + 2 = (x-1)(3x-2)\) даёт те же нули \(1\) и \(\dfrac{2}{3}\), а вершина стоит посередине между ними: \(\dfrac{1 + 2/3}{2} = \dfrac{5}{6}\) — сходится. Подстановка \(x = 0\) тоже даёт \(y = 2\), как и найдено.
На фото часть строки с заданием я разобрал не полностью: вижу функцию \(y = 3x^2 - 5x + 2\) и точки \(1\) и \(-1\), а слово между ними читается неоднозначно. Если там указан свой отрезок, пришли более чёткий фрагмент — пересчитаю наибольшее и наименьшее значение для него.
Обсуждение
2 сообщения3выполни
Выполнил все четыре задания со страницы, пункт 3 разобрал подробно.
№1. Функция \(y = 3x^2 - 5x + 2\): \[y(1) = 3 - 5 + 2 = 0,\qquad y(-1) = 3 + 5 + 2 = 10.\] Ответ: \(y(1) = 0\), \(y(-1) = 10\).
№2. Разложить на множители \(x^2 - 7x + 12\). Ищем два числа, которые в произведении дают \(12\), а в сумме \(-7\): это \(-3\) и \(-4\). \[x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4).\] Проверка: \((x-3)(x-4) = x^2 - 4x - 3x + 12 = x^2 - 7x + 12\).
№3. Система неравенств: \[ \begin{cases} 2x - 3 > 0,\\ 5 - x > 0. \end{cases} \] Решаем каждое отдельно: \[2x - 3 > 0 \;\Rightarrow\; 2x > 3 \;\Rightarrow\; x > 1{,}5;\] \[5 - x > 0 \;\Rightarrow\; -x > -5 \;\Rightarrow\; x < 5.\] Нужны такие \(x\), при которых верны оба неравенства сразу, то есть пересечение: \[1{,}5 < x < 5,\qquad x \in \left(\frac{3}{2};\,5\right).\] Ответ: \(\left(\dfrac{3}{2};\,5\right)\).
Проверка: \(x = 2\): \(2\cdot 2 - 3 = 1 > 0\) и \(5 - 2 = 3 > 0\) — подходит. А \(x = 1{,}5\) даёт \(0\), а не \(>0\); \(x = 5\) даёт \(0\) — концы не включаются, поэтому скобки круглые.
№4. Неравенство: \[x^2 - 3x - 10 < 0.\] Находим корни уравнения \(x^2 - 3x - 10 = 0\): \[D = (-3)^2 - 4\cdot 1\cdot(-10) = 9 + 40 = 49,\] \[x_{1,2} = \frac{3 \pm 7}{2},\qquad x_1 = 5,\quad x_2 = -2.\] Ветви параболы направлены вверх (\(a = 1 > 0\)), поэтому между корнями она ниже оси \(Ox\): \[-2 < x < 5,\qquad x \in (-2;\,5).\] Ответ: \((-2;\,5)\).
Проверка: \(x = 0\): \(0 - 0 - 10 = -10 < 0\) — верно; \(x = 6\): \(36 - 18 - 10 = 8 > 0\) — не подходит, как и должно быть.
